Теорема Колмогорова

Теоре́ма Колмого́рова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — выборка объёма $n$ , порождённая случайной величиной, которая задаётся непрерывной функцией распределения $F(x)$. Пусть $F_{n}(x)$ — выборочная функция распределения. Тогда

${\sqrt {n}}\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-F(x)\right|\to K$ по распределению при $n\to \infty$,

где $K$  — случайная величина, имеющая распределение Колмогорова.

Замечание

Неформально говорят, что скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу имеет порядок $1/{\sqrt {n}}$.

Определение границ доверительной зоны

Теорема Колмогорова очень часто применяется, чтобы определить границы, в которые с заданной вероятностью попадает теоретическая функция $F(x)$:

$P({\sqrt {n}}D_{n}\leq k_{\gamma })=P\left(F_{n}(x)-{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}}\leq F(x)\leq F_{n}(x)+{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}},x\in \mathbb {R} \right){\xrightarrow {n\to \infty }}K(k_{\gamma })=\gamma ,$

$D_{n}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|,$ где $k_{\gamma }$ — квантиль уровня $\gamma$ закона распределения Колмогорова.

Таким образом с вероятностью $\gamma$ при $n\to \infty \quad F(x)$ находится в указанном интервале.

Вероятность $\gamma$ называют уровнем значимости.

Область, определяемую этими границами, называют асимптотической $\gamma$-доверительной зоной для теоретической функции распределения.

См. также

• Критерий согласия Колмогорова
• Распределение Колмогорова
• Теорема Гливенко — Кантелли.