Многочлены Бернулли
В математике Многочле́ны Берну́лли — многочлены , названные в честь Якоба Бернулли , возникающие при изучении многих специальных функций , в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица , также являются частным случаем последовательности Аппеля . В отличие от ортогональных многочленов , многочлены Бернулли замечательны тем, что число корней в интервале
[
0
,
1
]
{\displaystyle \ [0,1]}
не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям .
Определение
Многочлены Бернулли
B
n
(
x
)
{\displaystyle \ B_{n}(x)}
можно определить различными способами. Выбор определения зависит от удобства в том или ином случае.
Явная формула
B
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
C
n
k
B
n
−
k
x
k
{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{n-k}x^{k}}
, где
C
n
k
{\displaystyle C_{n}^{k}}
— биномиальные коэффициенты ,
B
k
{\displaystyle \ B_{k}}
— числа Бернулли .
Или
B
n
(
x
)
=
∑
m
=
0
n
1
m
+
1
∑
k
=
0
m
(
−
1
)
k
C
m
k
(
x
+
k
)
n
.
{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.}
Производящая функция
Производящей функцией для многочленов Бернулли является
t
e
x
t
e
t
−
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
(
x
)
t
n
n
!
.
{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}
Представление дифференциальным оператором
B
n
(
x
)
=
D
e
D
−
1
x
n
{\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}
, где
D
{\displaystyle D}
— оператор формального дифференцирования .
Явное выражение для небольших степеней
Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:
B
0
(
x
)
=
1
,
{\displaystyle B_{0}(x)=1,}
B
1
(
x
)
=
x
−
1
2
,
{\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},}
B
2
(
x
)
=
x
2
−
x
+
1
6
,
{\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},}
B
3
(
x
)
=
x
3
−
3
2
x
2
+
1
2
x
,
{\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,}
B
4
(
x
)
=
x
4
−
2
x
3
+
x
2
−
1
30
,
{\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},}
B
5
(
x
)
=
x
5
−
5
2
x
4
+
5
3
x
3
−
1
6
x
,
{\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,}
B
6
(
x
)
=
x
6
−
3
x
5
+
5
2
x
4
−
1
2
x
2
+
1
42
.
{\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.}
Свойства
Начальные значения
начальные значения многочленов Бернулли при
x
=
0
{\displaystyle \ x=0}
равны соответствующим числам Бернулли :
B
n
(
0
)
=
B
n
{\displaystyle \ B_{n}(0)=B_{n}}
.
Дифференцирование и интегрирование
Вычисляя производную от производящей функции:
t
e
t
x
1
e
t
−
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
′
(
x
)
n
!
t
n
{\displaystyle te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}}
.
Левая часть отличается от производящей функции только множителем
t
{\displaystyle \ t}
, поэтому
∑
n
=
0
∞
B
n
′
(
x
)
n
!
t
n
=
∑
n
=
0
∞
B
n
(
x
)
n
!
t
n
+
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}}
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
t
{\displaystyle \ t}
, получаем:
B
n
′
(
x
)
n
!
=
B
n
−
1
(
x
)
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle {\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!}}}
, откуда
B
n
′
(
x
)
=
n
B
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle \ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)}
. (функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля ).
Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:
B
n
(
x
)
=
B
n
+
n
∫
0
x
B
n
−
1
(
t
)
d
t
{\displaystyle \ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt}
.
Также бывает полезно свойство сбалансированности:
∫
0
1
B
n
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0}
(при
n
>
0
{\displaystyle n>0}
)
Теорема об умножении аргумента
Пусть m — произвольное натуральное число , тогда
∑
n
=
0
∞
B
n
(
m
x
)
t
n
n
!
=
t
e
m
x
t
e
t
−
1
=
1
m
e
m
x
t
m
t
(
1
+
e
t
+
⋯
+
e
(
m
−
1
)
t
)
e
m
t
−
1
=
1
m
∑
s
=
0
m
−
1
e
(
x
+
s
m
)
m
t
m
t
e
m
t
−
1
=
1
m
∑
s
=
0
m
−
1
∑
n
=
0
∞
B
n
(
x
+
s
m
)
m
n
n
!
t
n
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {te^{mxt}}{e^{t}-1}}={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left(x+{\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n!}}t^{n}.}
Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:
B
n
(
m
x
)
=
m
n
−
1
∑
s
=
0
m
−
1
B
n
(
x
+
s
m
)
{\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)}
.
Симметрия
B
n
(
1
−
x
)
=
(
−
1
)
n
B
n
(
x
)
,
{\displaystyle \ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),}
(
−
1
)
n
B
n
(
−
x
)
=
B
n
(
x
)
+
n
x
n
−
1
.
{\displaystyle \ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.}
Ссылки