Проблемы Ландау

На Международном конгрессе математиков 1912 года Эдмунд Ландау перечислил четыре главные проблемы в теории простых чисел. Эти проблемы были выражены в его докладе как «неприступные при текущем состоянии математики» и они известны теперь как проблемы Ландау.

1. Гипотеза Гольдбаха: Можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
2. Гипотеза о числах-близнецах: Бесконечно ли число простых p таких, что p + 2 тоже простое?
3. Гипотеза Лежандра: Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
4. Существует ли бесконечно много простых чисел p, для которых p − 1 является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида n² + 1? (последовательность A002496 в OEIS).

Все четыре проблемы на 2022 год остаются открытыми.

Продвижение в направлении решения проблем

Гипотеза Гольдбаха

Теорема Виноградова доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого n. В 2013 Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел больших 5. В отличие от проблемы Гольдбаха, слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.

Теорема Чэня доказывает, что для всех достаточно больших n $2n=p+q$, где p простое, а q либо простое, либо полупростое. Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, не представимые в виде суммы двух простых, имеет плотность нуль.

В 2015 Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня: любое чётное число, большее $e^{e^{36}}\approx 1.7\cdot 10^{1872344071119348}$, является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.

Гипотеза о числах-близнецах

Чжан Итан показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с проектом «Polymath». При принятии обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 (Мейнард, Голдстон, Пинц и Йылдырым).

Чень показал, что имеется бесконечно много простых чисел p (позднее названных простыми числами Чэня), таких, что p+2 является простым или полупростым.

Гипотеза Лежандра

Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими p, меньше величины $2{\sqrt {p}}$. Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×10¹⁸. Контрпример около 10¹⁸ должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более $x^{1/6}$ нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим ${\sqrt {2p}}$. В частности,

$\sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>x^{1/2}}{x\leq p_{n}\leq 2x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{2/3}.$.

Результат Ингема показывает, что существует простое между $n^{3}$ и $(n+1)^{3}$ для любого достаточно большого n.

Почти квадратные простые числа

Теорема Фридландера — Иванеца показывает, что бесконечно большое количество простых чисел имеют вид $x^{2}+y^{4}$.

Иванец показал, что существует бесконечное количество чисел вида $n^{2}+1$ с максимум двумя простыми делителями.

Анкени доказал, что при верности обобщённой гипотезы Римана для L-функций на характерах Гекке существует бесконечно много простых чисел вида $x^{2}+y^{2}$ с $y=O(\log x)$.

Дешуиллерс и Иванец, улучшив результат Хули и Тодда, показали, что существует бесконечно много чисел вида $n^{2}+1$ с бо́льшим простым множителем по меньшей мере $n^{1.2}$. Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы.

В обратную сторону, решето Бруна показывает, что существует $O({\frac {\sqrt {x}}{\log x}})$ таких простых, меньших x.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Landau's Problems (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.