Инволюция (математика)

Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе.

Формально, функция $f$ называется инволюцией если $f(f(x))=x$ для всякого $x$ из области определения функции $f$.

Если $f$ — инволюция, то имеют место следующие соотношения:

• $\forall a:f^{-1}(a)=f(a)$
• $\forall a:f(f(a))=a$
• $\forall a,\exists b:f(a)=b\land f(b)=a$

Примеры инволюций:

• $f(x)=-x$, заданная на множестве целых $\mathbb {Z}$, рациональных $\mathbb {Q}$ или вещественных чисел $\mathbb {R}$;
• $f(x)={\bar {x}}$ — дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества $U$;
• $f(x)=\neg x$ — логическое отрицание булевой алгебры;
• симметрии: центральная, осевая, зеркальная;
• инверсия;
• комплексное сопряжение;
• преобразование Лежандра.

Перестановка $\tau$ является инволюцией, если $\tau \circ \tau =id$, каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\5&7&4&3&1&8&2&6\end{pmatrix}}=(1,5)(2,7)(3,4)(6,8)$.

Число инволюций в группе перестановок порядка $n$ определяется по формулам:

• $a(0)=1,\ a(1)=1,\ a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\ n>1$ (рекуррентная формула),
• $a(n)=\sum _{k=0}^{[n/2]}{\frac {n!}{2^{k}\cdot (n-2k)!\cdot k!}}$,

(первые значения $a(n)$: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35 696, 140 152).

Свойства инволюции обеспечивают ей широкое применение в различных приложения, например, инволютивные преобразования над пространством булевых векторов используются в различных схемах построения симметричных криптоалгоритмов, таких как сети Фейстеля и подстановочно-перестановочные сети.