Матрица Коши (линейная алгебра)

В математике матрица Коши (названа в честь Огюстена Луи Коши) — это матрица размера m × n с элементами вида

$a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leqslant i\leq m,\quad 1\leqslant j\leq n,$

где $x_{i}$ и $y_{j}$ являются элементами поля ${\mathcal {F}}$, а последовательности $(x_{i})$ и $(y_{j})$ таких элементов являются инъективными (не содержат повторяющихся элементов).

Матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши при

$x_{i}-y_{j}=i+j-1.$

Каждая подматрица (матрица, получающаяся вычёркиванием определённой строки и столбца) матрицы Коши также является матрицей Коши.

Определители Коши

Определитель квадратной матрицы Коши является заведомо рациональной функцией параметров $(x_{i})$ и $(y_{j})$. Если эти последовательности не инъективны, то определитель равен нулю. Если некоторые $x_{i}$ стремятся к $y_{j}$ , то определитель стремится к бесконечности. Таким образом, часть множества нулей и полюсов определителя Коши заранее известна. На самом деле других нулей и полюсов нет.

Явный вид определителя квадратной матрицы Коши A, называемый просто определитель Коши:

$\det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}$     (Schechter 1959, eqn 4).

Он всегда не равен нулю, таким образом, матрицы Коши являются обратимыми. Обратная матрица A⁻¹ = B = [b_ij] имеет вид:

$b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})$     (Schechter 1959, Theorem 1)

где A_i(x) и B_i(x) — многочлены Лагранжа для последовательностей $(x_{i})$ и $(y_{j})$, соответственно. То есть

$A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}$ и $\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},$

где

$A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})$ и $\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).$

Обобщение

Матрица C называется матрицей типа Коши, если она имеет вид

$C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.$

Обозначив X=diag(x_i), Y=diag(y_i), получим, что матрицы типа Коши (в частности, просто матрицы Коши) удовлетворяют смещённому уравнению:

$\mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }$

(в случае матриц Коши $r=s=(1,1,\ldots ,1)$). Следовательно, матрицы типа Коши имеют общую смещённую структуру, что может быть использовано при работе с такими матрицами. Например, известны алгоритмы для

• приближённого умножения матрицы Коши на вектор за $O(n\log n)$ операций,
• LU-разложение за $O(n^{2})$ операций (алгоритм GKO), и соответствующий алгоритм решения систем линейных уравнений с такими матрицами,
• неустойчивые алгоритмы для решения систем линейных уравнений за $O(n\log ^{2}n)$ операций.

Через $n$ обозначен размер матрицы (обычно имеют дело с квадратными матрицами, хотя все вышеприведённые алгоритмы легко могут быть обобщены на прямоугольные матрицы).

См. также

• Матрица Тёплица

Ссылки

• A. Gerasoulis. A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 1988. — Vol. 50, no. 181. — P. 179—188.
• I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky. Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 1995. — Vol. 64, no. 212. — P. 1557—1576.
• P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin. An $O(N\log ^{2}N)$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices (англ.) // Computers and Mathematics with Applications : journal. — 2005. — Vol. 50. — P. 741—752.
• S. Schechter. On the inversion of certain matrices (англ.) // Mathematical Tables and Other Aids to Computation : journal. — 1959. — Vol. 13, no. 66. — P. 73—77.