Производящая функция моментов: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Nallimbot (обсуждение | вклад) м робот добавил: it:Funzione generatrice dei momenti |
AVB (обсуждение | вклад) викификация, оформление, +"другие значения" |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{другие значения|Производящая функция}} |
|||
'''Производя́щая фу́нкция моме́нтов''' |
'''Производя́щая фу́нкция моме́нтов''' — способ задания [[Распределение вероятности|вероятностных распределений]]. Используется чаще всего для вычисления [[Моменты случайной величины|моментов]]. |
||
== Определение == |
== Определение == |
||
Строка 7: | Строка 8: | ||
Пользуясь формулами для вычисления [[математическое ожидание|математического ожидания]], определение производящей функции моментов можно переписать в виде: |
Пользуясь формулами для вычисления [[математическое ожидание|математического ожидания]], определение производящей функции моментов можно переписать в виде: |
||
: <math>M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, \mathbb{P}^X(dx)</math>, |
: <math>M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, \mathbb{P}^X(dx)</math>, |
||
то есть производящая функция моментов |
то есть производящая функция моментов — это [[Преобразование Лапласа|двустороннее преобразование Лапласа]] распределения случайной величины (с точностью до отражения). |
||
== Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины == |
== Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины == |
||
Строка 38: | Строка 39: | ||
== См. также == |
== См. также == |
||
* [[Моменты случайной величины]] |
* [[Моменты случайной величины]] |
||
* [[Характеристическая функция случайной величины]] |
* [[Характеристическая функция случайной величины]] |
||
[[Категория:Теория вероятностей]] |
[[Категория:Теория вероятностей]] |
Версия от 20:01, 2 ноября 2008
Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.
Определение
Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид
- .
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:
- ,
то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
Если случайная величина дискретна, то есть , то
- .
Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда
- .
Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то
- .
Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда
- .
Cвойства производящих функций моментов
Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.
- Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт сопадение функций вероятности.
- Производящая функция моментов как функция случайно величины однородна:
- .
- Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда
- .
Вычисление моментов
- .