Производящая функция моментов: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
A5b (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
YurikBot (обсуждение | вклад) м robot Modifying: en:Moment-generating function |
||
Строка 42: | Строка 42: | ||
[[Категория:Теория вероятностей]] |
[[Категория:Теория вероятностей]] |
||
[[de:Momenterzeugende Funktion]] |
[[de:Momenterzeugende Funktion]] |
||
[[en:Moment-generating function]] |
|||
[[en:Производящая функция моментов]] |
|||
[[ko:모멘트생성함수]] |
[[ko:모멘트생성함수]] |
||
[[nl:Momentgenererende functie]] |
[[nl:Momentgenererende functie]] |
Версия от 11:35, 11 июня 2006
Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.
Определение
Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид
- .
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:
- ,
то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
Если случайная величина дискретна, то есть , то
- .
Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда
- .
Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то
- .
Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда
- .
Cвойства производящих функций моментов
Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.
- Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт сопадение функций вероятности.
- Производящая функция моментов как функция случайно величины однородна:
- .
- Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда
- .
Вычисление моментов
- .