Производящая функция моментов

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Определение

Пусть есть случайная величина $X$ с распределением $\mathbb {P} ^{X}$. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид

$M_{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]$.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

$M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)$,

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть $\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots$, то

$M_{X}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}$.

Пример. Пусть $X$ имеет распределение Бернулли. Тогда

$M_{X}(t)=e^{t\cdot 1}\cdot p+e^{t\cdot 0}\cdot q=pe^{t}+q$.

Если случайная величина $X$ абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность $f_{X}(x)$, то

$M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,f_{X}(x)\,dx$.

Пример. Пусть $X\sim U[0,1]$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

$M_{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{tx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{tx}}{t}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{t}-1}{t}}$.

Cвойства производящих функций моментов

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

• Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть $X,Y$ суть две случайные величины, и $M_{X}(t)=M_{Y}(t),\;\forall t$. Тогда $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
• Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:

$M_{aX}(t)=M_{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R}$.

• Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}$ суть независимые случайные величины. Обозначим $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$. Тогда

$M_{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}M_{X_{i}}(t)$.

Вычисление моментов

$\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}M_{X}(t)\right\vert _{t=0}$.

См. также

• Моменты случайной величины
• Характеристическая функция случайной величины