Рациональная функция: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
м r2.7.1) (робот добавил: cs:Racionální funkce |
|||
Строка 40: | Строка 40: | ||
[[ar:دالة كسرية]] |
[[ar:دالة كسرية]] |
||
[[ca:Funció racional]] |
[[ca:Funció racional]] |
||
[[cs:Racionální funkce]] |
|||
[[de:Rationale Funktion]] |
[[de:Rationale Funktion]] |
||
[[el:Ρητή συνάρτηση]] |
[[el:Ρητή συνάρτηση]] |
Версия от 22:44, 24 января 2012
Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид
где , — многочлены от любого числа переменных.
Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:
- , где P(x) и Q(x) — многочлены.
Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.
Свойства
- Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
- Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции.
- Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.
Правильные дроби
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (a — вещественный корень Q(x)) либо (где не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.
См. также
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |