Рациональная функция

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид

${\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}$

где  $P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})$,  $Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})$ — многочлены от любого числа переменных.

Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:

$R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$, где P(x) и Q(x) — многочлены.

Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Свойства

• Любое выражение, которое можно получить из переменных $x_{1},\dots ,x_{n}$ с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
• Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции.
• Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.

Правильные дроби

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

${\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}=P'_{n-m}(x)+{\frac {P_{m-1}^{''}(x)}{Q_{m}(x)}}$

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения $(x-a)^{k}$ ($a$ — вещественный корень $Q(x)$) либо $(x^{2}+px+q)^{k}$ (где $x^{2}+px+q$ не имеет действительных корней), причём степени $k$ не больше кратности соответствующих корней в многочлене $Q(x)$. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. также

• Рациональное число
• Наипростейшая дробь
• Египетские дроби
• Список интегралов от рациональных функций