Формула Герона: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
оформление, стилевые правки, орфография, иллюстрация |
Sealle (обсуждение | вклад) м откат правок 171.33.252.225 (обс) к версии Alexei Kopylov |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Фо́рмула Герона''' позволяет вычислить [[площадь (геометрия)|площадь]] [[треугольник]]а (''S'') по его сторонам ''a, b, c'': |
|||
: <math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math> |
|||
где p — '''полупериметр''' треугольника: <math>p = \frac{a + b + c}2</math>. |
|||
{{Hider| |
|||
title = Доказательство:| |
|||
hidden = 0 | |
|||
title-style = text-align: left; | |
|||
content-style = text-align: left; | |
|||
content = |
|||
: <math>S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma}</math>, |
|||
где <math>\ \gamma</math> — угол треугольника, ''противолежащий стороне'' <math>c</math>. |
|||
По [[теорема косинусов|теореме косинусов]]: |
|||
: <math>c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,</math> |
|||
Отсюда: |
|||
: <math>\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},</math> |
|||
Значит, |
|||
: <math>\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=</math> |
|||
: <math>={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=</math> |
|||
: <math>={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)</math>. |
|||
Замечая, что <math>a+b+c=2p</math>, <math>a+b-c=2p-2c</math>, <math>a+c-b=2p-2b</math>, <math>c-a+b=2p-2a</math>, получаем: |
|||
: <math>\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.</math> |
|||
Таким образом, |
|||
: <math>S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math> |
|||
[[ч.т.д.]]}} |
|||
== История == |
== История == |
||
Эта формула содержится в «Метрике» [[Герон|Герона Александрийского]] ([[I век|I века н. э.]]) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название {{Якорь|Геронов треугольник}}''героновых треугольников''. Простейшим героновым треугольником является [[египетский треугольник]]. |
Эта формула содержится в «Метрике» [[Герон|Герона Александрийского]] ([[I век|I века н. э.]]) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название {{Якорь|Геронов треугольник}}''героновых треугольников''. Простейшим героновым треугольником является [[египетский треугольник]]. |
Версия от 06:08, 3 февраля 2016
Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:
где p — полупериметр треугольника: .
- ,
где — угол треугольника, противолежащий стороне . По теореме косинусов:
Отсюда:
Значит,
- .
Замечая, что , , , , получаем:
Таким образом,
История
Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I века н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.
Вариации
- Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
- Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1]:
- Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера[англ.] для вычисления гиперобъёма симплекса.
- Второй определитель последней формулы предложен В. Дроздовым [2] [3] для формулы Герона.
Аналоги формулы Герона
Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.
- Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b, and c, обозначенные соответственно через ma, mb и mc, если их полусумма есть σ = (ma + mb + mc)/2. Тогда мы имеем [4]
- Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через ha, hb и hc, а полусумму их обратных величин обозначим через . Тогда имеем [5]
или в развернутом виде
- Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем [6]
Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника:
Обобщения
- Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:
- где — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)
- Та же Формула Брахмагупты через определитель[7]:
- Из последней формулы при d=0 автоматически получается формула Дроздова В. [2].
- Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны , то для его объёма верно выражение
- .
Для сферического треугольника
- Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны как:
- , где — полупериметр.
См. также
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Heron's Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ↑ 1 2 Дроздов В. Геронов определитель. Занимательная страница // Математика в школе, 1995, № 5, обложка.
- ↑ Мухлаев А. Возможно, Герон что-то утаил/ 38–я открытая областная научная конференция учащихся. Омск. 2006. C. 8/ http://gigabaza.ru/doc/66950.html.
- ↑ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.
- ↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
- ↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
- ↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические нау-ки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|