Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 96:
Строка 96:
{{rq|sources|topic=math}}
{{rq|sources|topic=math}}
{{Нет полных библиографических описаний}}
[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Герона]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Герона]]
Версия от 16:24, 20 августа 2016
Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S ) по его сторонам a, b, c :
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
,
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
где p — полупериметр треугольника:
p
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
.
S
=
1
2
a
b
⋅
sin
γ
{\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}
,
где
γ
{\displaystyle \ \gamma }
— угол треугольника, противолежащий стороне
c
{\displaystyle c}
.
По теореме косинусов :
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
⋅
cos
γ
,
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}
Отсюда:
cos
γ
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
,
{\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}
Значит,
sin
2
γ
=
1
−
cos
2
γ
=
(
1
−
cos
γ
)
(
1
+
cos
γ
)
=
{\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}
=
2
a
b
−
a
2
−
b
2
+
c
2
2
a
b
⋅
2
a
b
+
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
=
{\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}
=
c
2
−
(
a
−
b
)
2
2
a
b
⋅
(
a
+
b
)
2
−
c
2
2
a
b
=
1
4
a
2
b
2
(
c
−
a
+
b
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}
.
Замечая, что
a
+
b
+
c
=
2
p
{\displaystyle a+b+c=2p}
,
a
+
b
−
c
=
2
p
−
2
c
{\displaystyle a+b-c=2p-2c}
,
a
+
c
−
b
=
2
p
−
2
b
{\displaystyle a+c-b=2p-2b}
,
c
−
a
+
b
=
2
p
−
2
a
{\displaystyle c-a+b=2p-2a}
, получаем:
sin
γ
=
2
a
b
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
.
{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}
Таким образом,
S
=
1
2
a
b
sin
γ
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
,
{\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
ч.т.д.
История
Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I века н. э. ) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников . Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник .
Вариации
Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
S
=
1
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
S
=
1
4
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
S
=
1
4
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
+
c
)
.
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}
Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1] :
−
16
S
2
=
|
0
a
2
b
2
1
a
2
0
c
2
1
b
2
c
2
0
1
1
1
1
0
|
=
|
a
b
c
0
b
a
0
c
c
0
a
b
0
c
b
a
|
{\displaystyle -16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}}
Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера (англ.) ( рус. для вычисления гиперобъёма симплекса .
Второй определитель последней формулы предложен В. Дроздовым [2] [3] для формулы Герона .
Аналоги формулы Герона
Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.
Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a , b и c , обозначенные соответственно через ma , mb и mc , если их полусумма есть σ = (ma + mb + mc )/2 . Тогда мы имеем [4]
S
=
4
3
σ
(
σ
−
m
a
)
(
σ
−
m
b
)
(
σ
−
m
c
)
.
{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}
Обозначим высоты, проведенные к сторонам a , b и c треугольника соответственно через ha , hb и hc , а полусумму их обратных величин обозначим через
H
=
(
h
a
−
1
+
h
b
−
1
+
h
c
−
1
)
/
2
{\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}
. Тогда имеем [5]
S
−
1
=
4
H
(
H
−
h
a
−
1
)
(
H
−
h
b
−
1
)
(
H
−
h
c
−
1
)
{\displaystyle S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}
или в развернутом виде
S
=
1
(
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
)
(
1
h
c
+
1
h
b
−
1
h
a
)
(
1
h
a
+
1
h
c
−
1
h
b
)
(
1
h
a
+
1
h
b
−
1
h
c
)
{\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{a}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}})}}}}
Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 , тогда имеем [6]
S
=
D
2
s
(
s
−
sin
α
)
(
s
−
sin
β
)
(
s
−
sin
γ
)
.
{\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.}
Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника:
D
=
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
.
{\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}
Обобщения
Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты :
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
,
{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},}
где
p
=
a
+
b
+
c
+
d
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}
— полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d =0)
S
=
1
4
−
|
a
b
c
−
d
b
a
−
d
c
c
−
d
a
b
−
d
c
b
a
|
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}}
Из последней формулы при d =0 автоматически получается формула Дроздова В. [2] .
Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья , которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники ): если у тетраэдра длины рёбер равны
l
1
,
l
2
,
l
3
,
l
4
,
l
5
,
l
6
{\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}}
, то для его объёма
V
{\displaystyle V}
верно выражение
144
V
2
=
l
1
2
l
5
2
(
l
2
2
+
l
3
2
+
l
4
2
+
l
6
2
−
l
1
2
−
l
5
2
)
+
l
2
2
l
6
2
(
l
1
2
+
l
3
2
+
l
4
2
+
l
5
2
−
l
2
2
−
l
6
2
)
+
l
3
2
l
4
2
(
l
1
2
+
l
2
2
+
l
5
2
+
l
6
2
−
l
3
2
−
l
4
2
)
−
l
1
2
l
2
2
l
4
2
−
l
2
2
l
3
2
l
5
2
−
l
1
2
l
3
2
l
6
2
−
l
4
2
l
5
2
l
6
2
{\displaystyle 144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})+l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})+l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})-l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}}
.
Для сферического треугольника
Теорема Люилье . Площадь сферического треугольника выражается через его стороны
θ
a
=
a
R
,
θ
b
=
b
R
,
θ
c
=
c
R
{\displaystyle \theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}}
как:
S
=
4
R
2
arctg
tg
(
θ
s
2
)
tg
(
θ
s
−
θ
a
2
)
tg
(
θ
s
−
θ
b
2
)
tg
(
θ
s
−
θ
c
2
)
{\displaystyle S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}
, где
θ
s
=
θ
a
+
θ
b
+
θ
c
2
{\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}
— полупериметр.
См. также
Примечания
↑ Weisstein, Eric W. Heron's Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
↑ 1 2 Дроздов В. Геронов определитель. Занимательная страница // Математика в школе, 1995, № 5, обложка .
↑ Мухлаев А. Возможно, Герон что-то утаил/ 38–я открытая областная научная конференция учащихся. Омск. 2006. C. 8/ http://gigabaza.ru/doc/66950.html .
↑ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические нау-ки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39 .
Литература