Формула Герона: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Добавлена вариация формулы Герона. |
→Вариации: тогда так |
||
Строка 37: | Строка 37: | ||
:<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math> |
:<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math> |
||
:<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.</math> |
:<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.</math> |
||
:<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)}.</math> |
:<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.</math> |
||
* Формулу Герона можно записать с помощью [[определитель|определителя]] в виде<ref> Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Heron's Formula.] From MathWorld--A Wolfram Web Resource. </ref>: |
* Формулу Герона можно записать с помощью [[определитель|определителя]] в виде<ref> Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Heron's Formula.] From MathWorld--A Wolfram Web Resource. </ref>: |
||
Строка 53: | Строка 53: | ||
\end{vmatrix} |
\end{vmatrix} |
||
</math> |
</math> |
||
* Первый определитель последней формулы является частным случаем {{нп3|определитель Кэли — Менгера|определителя Кэли |
* Первый определитель последней формулы является частным случаем {{нп3|определитель Кэли — Менгера|определителя Кэли — Менгера||Cayley-Menger determinant}} для вычисления гиперобъёма [[симплекс]]а. |
||
* Второй определитель последней формулы предложен В. Дроздовым {{sfn|Дроздов В. Геронов определитель. Занимательная страница // Математика в школе, 1995, № 5, обложка}} {{sfn|Мухлаев А. Возможно, Герон что-то утаил/ 38–я открытая областная научная конференция учащихся. Омск. 2006. C. 8/ http://gigabaza.ru/doc/66950.html}} для [[формула Герона|формулы Герона]]. |
* Второй определитель последней формулы предложен В. Дроздовым {{sfn|Дроздов В. Геронов определитель. Занимательная страница // Математика в школе, 1995, № 5, обложка}} {{sfn|Мухлаев А. Возможно, Герон что-то утаил/ 38–я открытая областная научная конференция учащихся. Омск. 2006. C. 8/ http://gigabaza.ru/doc/66950.html}} для [[формула Герона|формулы Герона]]. |
||
===Аналоги формулы Герона=== |
===Аналоги формулы Герона=== |
Версия от 01:35, 2 октября 2016
Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:
где p — полупериметр треугольника: .
- ,
где — угол треугольника, противолежащий стороне . По теореме косинусов:
Отсюда:
Значит,
- .
Замечая, что , , , , получаем:
Таким образом,
История
Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I века н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.
Вариации
- Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
- Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1]:
- Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера[англ.] для вычисления гиперобъёма симплекса.
- Второй определитель последней формулы предложен В. Дроздовым [2] [3] для формулы Герона.
Аналоги формулы Герона
Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.
- Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через ma, mb и mc, если их полусумма есть σ = (ma + mb + mc)/2. Тогда мы имеем [4]
- Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через ha, hb и hc, а полусумму их обратных величин обозначим через . Тогда имеем [5]
или в развернутом виде
- Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем [6]
Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника:
Обобщения
- Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:
- где — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)
- Та же Формула Брахмагупты через определитель[7]:
- Из последней формулы при d=0 автоматически получается формула Дроздова В. [2].
- Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны , то для его объёма верно выражение
- .
Для сферического треугольника
- Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны как:
- , где — полупериметр.
См. также
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Heron's Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ↑ 1 2 Дроздов В. Геронов определитель. Занимательная страница // Математика в школе, 1995, № 5, обложка.
- ↑ Мухлаев А. Возможно, Герон что-то утаил/ 38–я открытая областная научная конференция учащихся. Омск. 2006. C. 8/ http://gigabaza.ru/doc/66950.html.
- ↑ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.
- ↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
- ↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
- ↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические нау-ки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39.
Литература
- Николаев Н. О площади треугольника // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|
В сносках к статье найдены неработоспособные вики-ссылки. |