Радикал идеала: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
исправление неработающей ссылки на источник, пунктуация |
м CheckWiki: замена прямых интервики-ссылок |
||
Строка 29: | Строка 29: | ||
== Литература == |
== Литература == |
||
* {{книга|автор=[[Атья, Майкл Фрэнсис|Атья М.]], |
* {{книга|автор=[[Атья, Майкл Фрэнсис|Атья М.]], {{iw|Макдональд, Иэн Дж.|Макдональд И.|en|Ian G. Macdonald}} |заглавие=Введение в коммутативную алгебру|место=М.|издательство=Факториал Пресс|год=2003|страниц=|isbn=5-88688-067-4|ref=Атья и Макдональд}} |
||
* {{книга|автор=Eisenbud, David. |заглавие=Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry|место=|издательство=Springer-Verlag|год=1995|allpages=|серия=Graduate Texts in Mathematics, vol. 150|isbn=0-387-94268-8|ref=Eisenbud}} |
* {{книга|автор=Eisenbud, David. |заглавие=Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry|место=|издательство=Springer-Verlag|год=1995|allpages=|серия=Graduate Texts in Mathematics, vol. 150|isbn=0-387-94268-8|ref=Eisenbud}} |
||
Версия от 10:18, 11 сентября 2018
В коммутативной алгебре, радикал идеала I — это идеал, образованный всеми элементами x такими, что некоторая степень x принадлежит I. Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.
Определение
Радикал идеала I в коммутативном кольце R, обозначаемый , определяется как
Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала I — это прообраз нильрадикала при отображении факторизации. Это также доказывает, что является идеалом.
Примеры
- В кольце целых чисел радикал главного идеала — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей .
- Радикал примарного идеала прост. Обратно, если радикал идеала прост, то этот идеал примарен.
- В любом коммутативном кольце для простого идеала [1]. В частности, каждый простой идеал радикален.
Свойства
- . Более того, — это наименьший радикальный идеал, содержащий I.
- — это пересечение всех простых идеалов, содержащих I. В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
- Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.
Приложения
Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой теореме Гильберта о нулях из коммутативной алгебры. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого алгебраически замкнутого поля и любого конечнопорождённого идеала в кольце многочленов от переменных над полем верно следующее равенство:
где
и
Примечания
- ↑ Атья и Макдональд, 2003, Предложение 4.2.
Литература
- Атья М., Макдональд И. . Введение в коммутативную алгебру. — М.: Факториал Пресс, 2003. — ISBN 5-88688-067-4.
- Eisenbud, David. . Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. — Springer-Verlag, 1995. — (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8.