Группа Вейля

Группа Вейля — группа, порождённая отражениями в гиперплоскостях, ортогональных к корням корневой системы группы Ли, алгебры Ли или других алгебраических объектов.

Названа в честь Германа Вейля.

Связанные определения

Шесть камер Вейля корневой системы A₂.

• Гиперплоскости, ортогональные корням корневой системы, режут Евклидово пространство на конечное число открытых областей, называемых камерами Вейля.
• Для группы Ли $G$, удовлетворяющей определенным условиям (например, для связной компактной группы), и произвольного тора $T<G$ (не обязательно максимального) можно определить группу Вейля как фактор нормализатора тора $N(T)$ по его централизатору $Z(T)$,

  $W(T,G)=N(T)/Z(T).$

Группа $W(T,G)$ конечна, поскольку '$Z(T)$ имеет конечный индекс в $N(T)$.

• При этом, если $T=T_{0}$ — максимальный тор (и значит $Z(T_{0})=T_{0}$), то полученная фактор-группа $W(T_{0},G)=N(T_{0})/Z(T_{0})$ называется группой Вейля $G$, и обозначается $W(G)$.

• Хотя эта конструкция зависит от выбора максимального тора, все полученные таким образом группы изоморфны.
• Если $G$ - компактная и связная группа Ли, то её группа Вейля изоморфна группе Вейля её алгебры Ли.

Свойства

• Группа Вейля действует перестановками на камерах Вейля, это действие свободное и транзитивное.
  • В частности, число камер Вейля равно порядку группы Вейля.

• Группы Вейля являются конечными группами Коксетера. Это позволяет им быть классифицированными диаграммами Кокстера — Дынкина.

Примеры

• Группа Вейля алгебры Ли ${\mathfrak {sl}}_{n}$ является симметрической группой на n элементах, $S_{n}$. Её действие можно описать следующим образом. Если ${\mathfrak {h}}$ — подалгебра Картана всех диагональных матриц с нулевым следом, то $S_{n}$ действует на ${\mathfrak {h}}$ перестановкой диагональных элементов перестановки матриц. Это действие индуцирует действие на двойственном пространстве ${\mathfrak {h}}^{\ast }$, которое собственно и является действием группы Вейля.

• Для общей линейной группы GL максимальный тор образован подгруппой D обратимых диагональных матриц. Нормализатор подгруппы D является группой обобщенных матриц перестановок (матриц типа матриц перестановок, но с любой ненулевыми числами, вместо единиц). Группа Вейля является симметрической группой. В этом случае отображение N → N/T расщепляется, поэтому нормализатор N является полупрямым произведением тора и группы Вейля и значит группа Вейля может быть идентифицирована с подгруппе G.
  • В общем это не всегда так – частное не всегда расщепляется, нормализатор N не всегда полупрямое произведение и группа Вейля не всегда реализуется как подгруппа G.

Смотри также

• Группа комплексных отражений

Литература

• Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. — 1972.