Сравнение топологий

Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве. Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения.

Определение

Пусть ${\mathcal {T}}_{1}$ и ${\mathcal {T}}_{2}$ — две топологии на множестве $X,$ такие что ${\mathcal {T}}_{1}$ содержится в ${\mathcal {T}}_{2}:$

${\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}.$

Это значит, что каждое открытое множество первого топологического пространства является открытым множеством второго. В этом случае топология ${\mathcal {T}}_{1}$ называется более грубой (иногда — более слабой или меньшей), чем ${\mathcal {T}}_{2}.$ Соответственно, топология ${\mathcal {T}}_{2}$ называется более тонкой (более сильной, большей). Некоторые авторы, особенно в учебниках по математическому анализу, употребляют термины «сильная топология» и «слабая топология» с противоположным значением.

Бинарное отношение $\subseteq$ задаёт структуру частичного порядка на множестве всех возможных топологий множества $X.$

Примеры

Наиболее тонкая топология на $X$ — дискретная топология, в которой все множества открыты. Соответственно, наиболее грубая топология — тривиальная (или антидискретная) топология.

Наиболее грубая топология на $X,$ относительно которой $X$ удовлетворяет аксиоме отделимости T₁, называется T₁-топологией. Такая топология всегда существует, её можно описать явно как топологию, замкнутые множества которой — это конечные множества, а также всё $X.$

Свойства

Пусть ${\mathcal {T}}_{1}$ и ${\mathcal {T}}_{2}$ — две топологии на множестве $X.$ Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• ${\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}$
• Тождественное отображение ${\text{id}}_{X}:(X,{\mathcal {T}}_{2})\to (X,{\mathcal {T}}_{1})$ непрерывно.
• Тождественное отображение ${\text{id}}_{X}:(X,{\mathcal {T}}_{1})\to (X,{\mathcal {T}}_{2})$ является открытым отображением (или, эквивалентно, замкнутым отображением).

Также из определений немедленно следуют данные утверждения:

• Непрерывное отображение $f:X\to Y$ останется непрывным, если топологию на $Y$ заменить на более грубую (соответственно, топологию на $X$ — на более тонкую).
• Открытое отображение $f:X\to Y$ останется открытым, если топологию на $Y$ заменить на более тонкую (соответственно, топологию на $X$ — на более грубую). Аналогичное утверждение верно для замкнутых отображений.

Решётка топологий

Множество топологий на $X$ образует полную решётку относительно отношения $\subseteq .$ Это значит, что произвольное семейство топологий имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Точная нижняя грань — это просто пересечение топологий. С другой стороны, объединение топологий не обязательно является топологией, и точная верхняя грань семейства топологий — это топология, для которой их объединение является предбазой.

Любая полная решётка является также ограниченной, в случае топологий этому соответствуют понятия дискретной и антидискретной топологии.