Стереографическая проекция
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Stereographic_Projection_Transversal_Extreme.jpg/250px-Stereographic_Projection_Transversal_Extreme.jpg)
Стереографи́ческая проекция — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость.
Определение
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Stereo.svg/250px-Stereo.svg.png)
Точка (северный полюс сферы) является точкой на максимальном расстоянии от плоскости . Через каждую точку сферы проходит единственная прямая , соединяющая и . Прямая пересекает плоскость в единственной точке , которая, таким образом, является образом точки при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой на плоскость .
Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки . Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом . Плоскость, дополненная элементом , называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза его образ .
Свойства
[править | править код]- Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции .
- Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.
- Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплексной проективной прямой на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем ) вещественную плоскость с координатами как одномерную (над полем ) прямую комплексного переменного .
- Движения сферы стереографической проекции порождают преобразования Мёбиуса на комплексной плоскости, подобно тому как Гномоническая проекция порождает проективные преобразования на плоскости.[1]
Приложения
[править | править код]В фотографии
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Globe_panorama03.jpg/250px-Globe_panorama03.jpg)
Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.
В кристаллографии
[править | править код]Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.
История
[править | править код]Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.
Вариации и обобщения
[править | править код]Стереографическая проекция приложима к n-сфере Sn в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве En + 1. Если Q — точка на Sn и E — гиперплоскость в En + 1, то стереографической проекцией точки P ∈ Sn − {Q} является точка P′ пересечения линии с E.
Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления 3-сферы и расслоения Хопфа.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Розенфельд Б. А., Сергеева Н. Д. Стереографическая проекция. Серия «Популярные лекции по математике», вып. 53. М.: Наука, 1973.
Примечания
[править | править код]- ↑ Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые_встречи_с_геометрией_1978 (неопр.). — Москва «Наука», 1978. — С. 225. (недоступная ссылка) (стр. 186)
Ссылки
[править | править код]![]() | В другом языковом разделе есть более полная статья Stereographic projection (англ.). |