Тензорный анализ

Полный тензор механических напряжений σ в декартовых координатах

Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей $D(M)$ дифференцируемого многообразия $M$. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении.

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры $D(M)$, среди таковых — ковариантная производная, производная Ли, внешняя производная, тензор кривизны невырожденного, дважды ковариантного тензора.

Ковариантная производная

Основная статья: Ковариантная производная

Ковариантная производная вдоль векторного поля $X$ — линейное отображение $\nabla _{X}$ пространства векторных полей $D^{1}(M)$ многообразия $M$, зависящее от векторного поля $X$ и удовлетворяющее условиям:

$\nabla _{fX+gV}Z=f\nabla _{X}Z+g\nabla _{V}Z,$

$\nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,$

где $X$, $Y$, $Z\in D'(M)$, $f$, $g$ — гладкие функции на $M$. Определяемые этим оператором связность $\Gamma$ и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры $D(M)$ в себя; при этом отображение $\nabla X$ есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со свёрткой.

В локальных координатах $u^{1},\;u^{2},\;\ldots ,\;u^{n}$ ковариантная производная тензора с компонентами $T\left(T_{j_{1}\ldots {j_{m}}}^{i_{1}\ldots {i_{l}}}\right)$ относительно вектора $X=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}$ определяется как:

$\nabla _{X}T=\xi ^{s}\left({\frac {\partial T_{j_{1}\ldots m}^{i_{1}\ldots i_{l}}}{\partial u^{s}}}+\Gamma _{k_{s}}^{i_{1}}T_{j_{1}\ldots j_{m}}^{k\ldots i_{l}}+\ldots -\Gamma _{j_{i,s}}^{k}T_{k\ldots j_{m}}^{i_{1}\ldots i_{l}}\right),$

$\Gamma _{ks}^{i}$ — объект связности $\Gamma$.

Производная Ли

Основная статья: Производная Ли

Производная Ли вдоль векторного поля $X$ — отображение $L_{X}$ пространства $D'(M)$, определяемое формулой $L_{X}:Y\to [X,\;Y]$, где $[X,\;Y]$ — коммутатор векторных полей $X$, $Y$. Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования $D(M)$, сохраняет тип тензоров и перестановочен со свёрткой. В локальных координатах производная Ли тензора $T\left(T_{j_{1}\ldots {j_{m}}}^{i_{1}\ldots {i_{l}}}\right)$ выражается так:

$L_{X}T=\xi ^{k}{\frac {\partial T_{j_{1}\ldots j_{m}}^{i_{1}\ldots i_{l}}}{\partial u^{k}}}+T_{k\ldots j_{m}}^{i_{1}\ldots i_{l}}{\frac {\partial \xi ^{k}}{\partial u^{i}}}+\ldots -T_{j_{1}\ldots j_{m}}^{k\ldots i_{l}}{\frac {\partial \xi ^{i_{1}}}{\partial u^{k}}}-\ldots$

Внешняя производная

Внешний дифференциал (внешняя производная) — линейный оператор $d$, сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариантному тензору) степени $p$ форму такого же вида и степени $p+1$, удовлетворяющий условиям:

$d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},\quad d(d\omega )=0,$

где $\wedge$ — символ внешнего произведения, $r$ — степень $\omega _{1}$. В локальных координатах внешняя производная тензора $\omega \langle \omega _{i_{1}\ldots i_{p}}\rangle$ выражается так:

$d\omega =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\partial \omega _{i_{1}\ldots {\hat {i}}_{k}\ldots i_{p+1}}}{\partial u^{i_{k}}}}.$

Оператор $d$ — обобщение оператора $\mathrm {rot}$.

Тензор кривизны

Тензор кривизны симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора $g_{if}$ представляет собой действие некоторого нелинейного оператора $R$:

$g_{if}\to R_{mlk}^{s}={\frac {\partial \Gamma _{km}^{s}}{\partial u^{l}}}-{\frac {\partial \Gamma _{kl}^{s}}{\partial u^{m}}}+\sum _{p}\left(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^{p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}\right)$,

где

$\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{is}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k}}}+{\frac {\partial g_{ks}}{\partial u^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{s}}}\right)$.

Литература

• Сокольников И. С. Тензорный анализ. — М.: Наука, 1971. — 374 с.
• Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1965. — 456 с.
• Широков П. А. Тензорное исчисление. — М.—Л.: Гостехиздат, 1934. — 464 с.