Теорема Фейта — Томпсона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Фейта — Томпсона или теорема о нечётном порядке утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Теорему доказали Вальтер Фейт[англ.] и Джон Григгс Томпсон[1][2].

Уильям Бёрнсайд[3] высказал предположение, что любая неабелева конечная простая группа[англ.] имеет чётный порядок. Ричард Брауэр[4] высказал предположение, используя централизаторы инволюций простых групп в качестве базиса для классификации конечных простых групп как в теореме Теорема Брауэра — Фаулера[англ.], что существует лишь конечное число конечных простых групп с данным центром инволюции. Группа нечётного порядка не имеет инволюций, так что для исполнения плана Брауэра в первую очередь необходимо показать, что нециклические конечные простые группы никогда не имеют нечётного порядка. Это эквивалентно доказательству, что группы с нечётным порядком разрешимы, что и доказали Томпсон и Фейт.

Атаку на гипотезу Бёрнсайда начал Сузуки[5], который изучал CA группы[6]. Это группы, в которых централизатор любого нетривиального элемента является абелевым. В своей работе он показал, что все CA-группы нечётного порядка разрешимы. (Позднее он классифицировал все простые CA-группы и все простые группы, в которых централизатор любой инволюции имеет нормальную 2-силовскую подгруппу, найдя в процессе классификации пропущенное семейство простых групп лиева типа, которое теперь носит название группы Судзуки[англ.].)

Фейт, Холл и Томпсон[7] расширили работу Сузуки на семейство CN-групп[англ.]. Это группы, в которых централизатор любого нетривиального элемента является нильпотентным[8]. Они показали, что любая CN-группа нечётного порядка разрешима. Их доказательство похоже на доказательство Сузуки. Доказательство заняло около 17 страниц, что было на то время очень большим для теории групп.

Теорему Фейта — Томпсона можно рассматривать как следующий шаг в этом процессе — они показали, что не существует нециклической простой группы нечётного порядка, в которой любая собственная подгруппа является разрешимой. Это доказывает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима, поскольку минимальный контрпример[англ.] должен быть простой группой, в которой любая собственная подгруппа разрешима. Хотя схема доказательства близка к схемам доказательства теорем для CA и CN групп, детали существенно более сложные, так что конечная статья имела 255 страниц текста.

Значение доказательства

[править | править код]

Теорема Фейта — Томпсона показала, что классификация конечных простых групп с помощью централизаторов инволюций возможна, поскольку любая неабелева простая группа имеет инволюцию. Многие техники, применённые в доказательстве теоремы, а особенно идея локального анализа[англ.], были позднее развиты в методы, используемые в классификации. Видимо, наиболее революционным аспектом доказательства была его длина — до статьи Фейта и Томпсона редкие статьи в теории групп превышали нескольких страниц и, в основном, их можно было изучить за день. Когда исследователи теории групп осознали, что длинные выкладки могут сработать, начали появляться статьи, содержащие сотни страниц. Некоторые даже превосходят статью Фейта и Томпсона, например, статья Михаэля Ашбахера и Стефена Д. Смита о квазитонких группах[англ.] имеет 1221 страницу.

Пересмотр доказательства

[править | править код]

Многие математики упростили части исходного доказательства Фейта и Томпсона. Однако все эти улучшения в некотором смысле локальны, основная структура изложения осталась той же самой, но некоторые детали доказательства были упрощены.

Упрощённое доказательство было опубликовано в двух книгах — книге Бендера и Глаубермана[9], в которой приведено всё, за исключением теории характера, и книге Петерфалви[10], в которой изложена теория характера. Это пересмотренное доказательство остаётся очень сложным и длиннее исходного доказательства, но написано в более лёгком стиле.

Конечное формальное доказательство, проверенное с помощью системы автоматического доказательства теорем[англ.] Coq, объявил в сентябре 2012 Жорж Гонтье, работавший вместе с группой сотрудников в подразделении Microsoft Research и INRIA[11].

Схема доказательства

[править | править код]

Вместо прямого описания теоремы Фейта — Томпсона проще описать CA-теорему Сузуки, а затем пояснить некоторые дополнения, необходимые для CN-теоремы и теоремы о нечётном порядке. Доказательство можно разбить на три шага. Пусть G будет неабелевой (минимальной) простой группой нечётного порядка, удовлетворяющей условиям CA-теоремы. Для более детального изложения статьи о нечётном порядке см. статью Томпсона[12], Горенштейна[13] или Глаубермана[14].

Шаг 1. Локальный анализ структуры группы G

[править | править код]

В случае CA анализ прост, поскольку отношение «a коммутирует с b» является отношением эквивалентности на неединичных элементах. Таким образом, элементы разбиваются на классы эквивалентности и каждый класс эквивалентности является множеством неединичных элементов максимальной абелевой подгруппы. Нормализаторы этих максимальных абелевых подгрупп оказывается в точности максимальными собственными подгруппами группы G. Эти нормализаторы являются группами Фробениуса[англ.], теория характеров для которых вполне прозрачна и подходит для манипуляции, использующей индукцированный характер. Также множество простых делителей|G|разбивается согласно простым числам, которые делят порядки различных классов смежности максимальных абелевых подгрупп. Подход, разбивающий простые делители |G| согласно классам смежности некоторых подгрупп Холла[англ.] (Подгруппа Холла — это подгруппа, порядок которой и индекс взаимно просты), которые соответствуют максимальным подгруппам группы G (с точностью до смежности), повторяется в доказательстве как CN-теоремы Фейта — Холла — Томпсона, так и теоремы Фейта — Томпсона о нечётном порядке. Каждая максимальная подгруппа M имеет некоторую нильпотентную подгруппу Холла Mσ с нормализатором, содержащимся в M, порядок которой делится на некоторые простые числа, образующие множество . Две максимальные подгруппы смежны тогда и только тогда, когда множества совпадают, а если они не смежны, множества не пересекаются. Любое простое число, делящее порядок группы G, оказывается в некотором множестве . Таким образом, простые делители порядка группы G разбиваются на классы смежности, соответствующие классам смежности максимальных подгрупп. Доказательство случая CN уже существенно сложнее случая CA — основной дополнительной проблемой становится доказательство, что две различные силовские подгруппы пересекаются по единичному элементу. Эта часть теоремы о нечётном порядке занимает более 100 журнальных страниц. Ключевым шагом является доказательство теоремы Томпсона о единственности[англ.], утверждающей, что абелевы подгруппы нормального ранга, не меньшего 3, содержатся в единственной максимальной подгруппе, что означает, что простые числа p, для которых силовские p-подгруппы имеют нормальный ранг, не превосходящий 2, нужно рассматривать отдельно. Бендер позднее упростил доказательство теоремы единственности, используя метод Бендера[англ.]. В то время как в случае CN результирующие максимальные подгруппы M остаются группами Фробениуса, максимальные подгруппы, появляющиеся в доказательстве теоремы о нечётном порядке могут не иметь такой структуры и анализ их структуры и взаимосвязей даёт 5 возможных типов максимальных подгрупп, которые обозначаются как типы I, II, III, IV, V. Подгруппы типа I — это подгруппы «фробениусового типа», небольшое обобщение группы Фробениуса, и, фактически, позднее в доказательстве показывается, что они являются группами Фробениуса. Они имеют структуру , где — наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа Холла, а U имеет подгруппу с тем же показателем, так что является группой Фробениуса с ядром . Типы II, III, IV, V все являются 3-шаговыми группами[англ.] со структурой , где является порождённое подгруппой группы M. Разделение на типы II, III, IV и V зависит от структуры и вложения подгруппы U следующим образом:

  • Type II: U нетривиальная абелева и её не нормализатор содержится в M.
  • Type III: U нетривиальная абелева и её нормализатор содержится в M.
  • Type IV: U неабелева.
  • Type V: U тривиальна.

Все, кроме двух классов максимальных подгрупп, имеют тип I, но могут быть ещё два класса максимальных подгрупп, один типа II, а другой типа II, III, IV или V.

Шаг 2. Теория характера группы G

[править | править код]

Если X является неприводимым характером нормализатора H максимальной абелевой подгруппы A CA-группы G, не содержащей A в своём ядре, мы можем из X получить характер Y группы G, который не обязательно неприводим. Из известной структуры группы G просто найти значения характера Y для всех элементов группы G, кроме единицы. Из этого следует, что когда X1 и X2 являются двумя неприводимыми характерами нормализатора H, а Y1 и Y2 являются соответствующими индуцированными характерами, то Y1 − Y2 полностью определено и вычисление его нормы показывает, что это разность двух неприводимых характеров группы G (их иногда называют исключительными характерами[англ.] группы G для нормализатора H). Подсчёт показывает, что каждый нетривиальный неприводимый характер группы G возникает ровно один раз как исключительный характер, ассоциированный с нормализатором некоторой максимальной абелевой подгруппы группы G. Похожая аргументация (с заменой абелевых подгрупп Холла на нильпотентные подгруппы Холла) работает в доказательстве CN-теоремы. Однако в доказательстве теоремы о нечётном порядке аргументация построения характеров группы G из характеров подгрупп более тонкая и использует изометрию Дейда[англ.] между кольцами характеров, а не индуцированные характеры, поскольку максимальные подгруппы имеют более сложные структуры и вкладываются менее прозрачным способом. Теория исключительных характеров заменяется теорией когерентных множеств характеров[англ.] для расширения изометрии Дейда. Грубо говоря, эта теория говорит, что изометрия Дейда может быть расширена, если группа не содержит некоторую определённую структуру. Петерфалви[15] описывает упрощённую версию теории характера (по статьям Деда, Сибли и Петерфалви).

Шаг 3. Конечное противоречие

[править | править код]

На шаге 2 мы имеем полное и точное описание таблицы характеров CA-группы G. Отсюда, используя факт, что G имеет нечётный порядок, доступна необходимая информация для получения оценки |G| и достижения предположения, что G является простой. Эта часть доказательства аналогично работает для случая CN-групп.

В доказательстве теоремы Фейта — Томпсона, однако, это шаг (как обычно) намного более сложный. Теория характера только исключает некоторые возможные конфигурации, оставшиеся после шага 1. Сначала Фейт и Томпсон показали, что максимальные подгруппы типа I все являются группами Фробениуса. Если все максимальные подгруппы имеют тип I, то аргументы, подобные случаю CN, показывают, что группа G не может иметь минимальной простой группой нечётного порядка, так что имеется в точности два случая максимальных подгрупп типа II, III, IV или V. Большая часть остального доказательства фокусируется на этих двух типах максимальных подгрупп S и T и связи между ними. Некоторые другие аргументы, относящиеся к теории характеров, показывают, что они не могут быть типа IV или V. Две подгруппы имеют определённую структуру — подгруппа S имеет порядок и состоит из всех автоморфизмов лежащего в основе конечного поля порядка pq вида , где a имеет норму 1 и является автоморфизмом конечного поля, где p и q — различные простые. Максимальная подгруппа T имеет подобную структуру с обменом p и q. Подгруппы S и T тесно связаны. Если принять, что p>q, можно показать, что циклическая подгруппа S порядка сопряжена с подгруппой циклической подгруппы T порядка . (В частности, первое число делит второе, так что в случае верности гипотезы Фейта — Томпсона из этого следовало бы, что такое произойти не может, и можно было бы доказательство нa этом месте прекратить. Однако гипотеза остаётся недоказанной.)

После применения теории характера к группе G заключаем, что G имеет следующую структуру: существуют простые p>q, такие, что взаимно просто с p–1 и G имеет подгруппу, задаваемую полупрямым произведением PU, где P — аддитивная группа конечного поля порядка , а U является её элементами с нормой 1. Однако группа G имеет абелеву подгруппу Q с порядком, взаимно простым с p, содержащую элемент y, такой что P0 нормализует Q и нормализует U, где является аддитивной группой конечного поля порядка p. (Для p=2 возникает подобная конфигурация в группе , с PU борелевой подгруппой верхних треугольных матриц, а Q — подгруппа порядка 3, генерируемая y=(01
11
).) Чтобы исключить этот финальный случай, Томпсон использует некоторые наводящие ужас сложные манипуляции с генераторами и соотношениями, которые позднее упростил Петерфалви[16], аргументы которого приведены в статье Бендера и Глаубермана[9]. Доказательство проверяет множество элементов a в конечном поле порядка pq, таких что a и 2–a имеют норму 1. Сначала проверяем, что это множество имеет по меньшей мере один элемент, отличный 1. Тогда достаточно сложные аргументы, использующие генераторы и связи в группе G, показывают, что множество замкнуто по взятию обратного. Если a находится в множестве и не равно 1, то многочлен N((1–a)x+1)–1 имеет степень q и имеет по меньшей мере p различных корней, заданными элементами x из Fp, используют факт, что отображает множество в себя, так что pq, что противоречит предположению p>q.

Использование нечётности

[править | править код]

Факт, что порядок группы G нечётен, используется в нескольких местах доказательства следующим образом [12].

  • Теорема Холла — Хигмана[англ.] сильнее для групп нечётного порядка.
  • В группах нечётного порядка все неглавные характеры встречаются в парах комплексной сопряжённости.
  • Некоторые результаты о p-группах верны только для нечётных простых p.
  • Если группа нечётного порядка не имеет абелевых подгрупп ранга 3, то её производная группа нильпотентна. (Это неверно для симметрической группы S4 чётного порядка.)
  • Некоторые аргументы, использующие теорию характера, не проходят для малых простых, в частности, для простого 2.

Примечания

[править | править код]
  1. Feit, Thompson, 1962.
  2. Feit, Thompson, 1963.
  3. Burnside, 1911, с. 503 Note M.
  4. Brauer, 1957.
  5. Suzuki, 1957.
  6. CA = Centralizer (централизатор) и Abelian (абелева).
  7. Feit, Hall, Thompson, 1960.
  8. CN = Centralizer (централизатор) и Nilpotent (нильпотентная).
  9. 1 2 Bender, Glauberman, 1994.
  10. Peterfalvi, 2000, с. part I.
  11. Msr-inria, 2012.
  12. 1 2 Thompson, 1963.
  13. Gorenstein, 1980.
  14. Glauberman, 1999.
  15. Peterfalvi, 2000.
  16. Peterfalvi, 1984.

Литература

[править | править код]
  • Feit–Thompson theorem has been totally checked in Coq. — Msr-inria.inria.fr, 2012. — Сентябрь. Архивировано 19 ноября 2016 года.
  • Helmut Bender, George Glauberman. Local analysis for the odd order theorem. — Cambridge University Press, 1994. — Т. 188. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 978-0-521-45716-3.
  • Brauer R. On the structure of groups of finite order // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954, Vol. 1. — Erven P. Noordhoff N.V., Groningen, 1957. — С. 209–217. Архивная копия от 5 марта 2011 на Wayback Machine
  • William Burnside. Theory of groups of finite order. — New York: Dover Publications, 1911. — ISBN 978-0-486-49575-0.
  • Walter Feit, John G. Thompson, Marshall Hall. Finite groups in which the centralizer of any non-identity element is nilpotent // Math. Z.. — 1960. — Т. 74. — С. 1–17. — doi:10.1007/BF01180468.
  • Walter Feit, John G. Thompson. A solvability criterion for finite groups and some consequences // Proc. Natl. Acad. Sci.. — 1962. — Т. 48, вып. 6. — С. 968–970. — doi:10.1073/pnas.48.6.968. — JSTOR 71265. — PMC 220889.
  • Walter Feit, John G. Thompson. Solvability of groups of odd order // Pacific Journal of Mathematics. — 1963. — Т. 13. — С. 775–1029. — ISSN 0030-8730.
  • George Glauberman. A new look at the Feit–Thompson odd order theorem // Matemática Contemporânea. — 1999. — Т. 16. — С. 73–92. — ISSN 0103-9059.
  • Gorenstein D. Finite groups. — New York: Chelsea Publishing Co., 1980. — ISBN 978-0-8284-0301-6.
  • Thomas Peterfalvi. Simplification du chapitre VI de l'article de Feit et Thompson sur les groupes d'ordre impair // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. — 1984. — Т. 299, вып. 12. — С. 531–534. — ISSN 0249-6291.
  • Thomas Peterfalvi. Character theory for the odd order theorem. — Cambridge University Press, 2000. — Т. 272. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 978-0-521-64660-4.
  • Michio Suzuki. The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order // Proceedings of the American Mathematical Society. — Proceedings of the American Mathematical Society, 1957. — Т. 8, вып. 4. — С. 686–695. — doi:10.2307/2033280. — JSTOR 2033280.
  • John G. Thompson. Two results about finite groups // Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962). — Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, 1963. — С. 296–300. Архивная копия от 17 июля 2011 на Wayback Machine