Уравнение Фридмана

Уравнение Фридмана — в космологии уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной Вселенной (Вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Александровича Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году.

Уравнение Фридмана

Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны),

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a(t)^{2}dl^{2}\,,$

где $dl^{2}$ — элемент длины в пространстве постоянной кривизны, $a(t)$ — масштаб («размер») вселенной.

Пространство постоянной кривизны может быть трёх видов — сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.

Сферические координаты

Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства

Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна

$ds^{2}=a(\eta )^{2}\left(d\eta ^{2}-d\chi ^{2}-\sin ^{2}\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\right)\,,$

где $r=a\cdot \sin \chi$ — фотометрическое расстояние, $\chi \in [0,\pi ]$; $\theta ,\,\phi$ — сферические углы; $\eta$ — масштабированное время, $ad\eta =dt$.

Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны

$R_{\chi }^{\chi }=R_{\theta }^{\theta }=R_{\phi }^{\phi }=-{\frac {1}{a^{4}}}(2a^{2}+a'^{2}+aa'')\;,$

$R_{\eta }^{\eta }={\frac {3}{a^{4}}}(a'^{2}-aa'')\;,$

$R=-{\frac {6}{a^{3}}}(a+a'')\;,$

где штрих означает дифференцирование по $\eta$.

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен

$T_{ab}=(\epsilon +p)u_{a}u_{b}-pg_{ab}\,,$

где $\epsilon$ плотность энергии, $p$—давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна $u^{a}=\{{\frac {1}{a(t)}},0,0,0\}$.

Временная компонента уравнения Эйнштейна,

$R_{\eta }^{\eta }-{\frac {1}{2}}R=\kappa {}T_{\eta }^{\eta }\,,$

с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,

${\frac {3}{a^{4}}}(a^{2}+a'^{2})=\kappa \epsilon \,.$

Если связь плотности энергии $\epsilon$ и давления $p$ (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной $a$, используя уравнение сохранения энергии

$d\epsilon =-(\epsilon +p){\frac {3da}{a}}\,.$

В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,

$\eta =\pm \int {\frac {da}{a{\sqrt {{\frac {1}{3}}\kappa \epsilon a^{2}-1}}}}\,.$

Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства

Для открытой вселенной метрика Фридмана равна

$ds^{2}=a(\eta )^{2}\left(d\eta ^{2}-d\chi ^{2}-\sinh ^{2}\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\right)\,,$

где $r=a\cdot \sinh \chi$, $\chi \in [0,\infty ]$; $\theta ,\,\phi$ — сферические углы; $\eta$ — масштабированное время, $ad\eta =dt$.

Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой $\{a,\eta ,\chi \}\to \{ia,i\eta ,i\chi \}$.

Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть

${\frac {3}{a^{4}}}(-a^{2}+a'^{2})=\kappa \epsilon \,.$

Открытая (бесконечная) и плоская вселенная

Для плоской вселенной метрика Фридмана равна

$ds^{2}=a(\eta )^{2}\left(d\eta ^{2}-d\chi ^{2}-\chi ^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\right)\,,$

где $r=a\chi$, $\chi \in [0,\infty ]$; $\theta ,\,\phi$ — сферические углы; $\eta$ — масштабированное время, $ad\eta =dt$.

Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе $r\ll a\to \infty$.

Замечая, что $a'/a^{2}={\dot {a}}/a$, где ${\dot {a}}\equiv da/dt$, уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как

$3{\frac {{\dot {a}}^{2}}{a^{2}}}=\kappa \epsilon \,.$

Приведённые радиальные координаты

Основная статья: en:Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric § Reduced-circumference polar coordinates

В этих координатах метрика пространства с постоянной кривизной равна

$dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\Omega ^{2},$

где $\theta ,\phi$ — сферические угловые координаты;

$r$ — приведённая радиальная координата, определяемая следующим образом: длина окружности радиуса $r$ с центром в начале координат равна $2\pi r;$

$k$ — константа, принимающей значение 0 для плоского пространства, +1 для пространства с постоянной положительной кривизной, −1 для пространства с постоянной отрицательной кривизной;

$d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.$

Решения уравнения Фридмана

Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев — вселенной, заполненной пылью, и вселенной, заполненной излучением.

Ссылки

• Liebscher, Dierck-Ekkehard. Expansion // Cosmology. — Berlin : Springer, 2005. — P. 53–77. — ISBN 3-540-23261-3.