Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса $\mu (n)$ — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение

$\mu (n)$ определена для всех натуральных чисел $n$ и принимает значения ${-1,\;0,\;1}$ в зависимости от характера разложения числа $n$ на простые сомножители:

• $\mu (n)=1$, если $n$ свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение $n$ на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• $\mu (n)=-1$, если $n$ свободно от квадратов и разложение $n$ на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• $\mu (n)=0$, если $n$ не свободно от квадратов.

По определению также полагают $\mu (1)=1$.

50 первых точек

У Ивана Матвеевича Виноградова в книге «Элементы высшей математики» встречается следующее определение функции Мёбиуса:

Функция Мёбиуса — мультипликативная функция, определённая равенствами: $\mu \,(p)=-1,\;\mu \,(p^{\alpha })=0,\;{\text{если}}\;\alpha >1.$

Из этих двух равенств и мультипликативности самой функции выводятся её значения для всех натуральных аргументов.

Свойства и приложения

• Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел $a$ и $b$ выполняется равенство $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$.
• Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа $n$, не равного единице, равна нулю

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}$

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

• $\sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1.$
• $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,$ где n — положительное целое число.
• $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.$
• $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln(2k+1)}{2k+1}}=-2.$
• $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln ^{2}k}{k}}=-2\gamma ,$ где $\gamma$ — это постоянная Эйлера.
• $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln ^{2}(2k+1)}{2k+1}}=-4(\gamma +ln2).$
• Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$.

Ряд абсолютно сходится при ${\rm {Re}}\,s>1$, на прямой ${\rm {Re}}\,s=1$ сходится условно, в области $1/2<{\rm {Re}}\,s<1$ утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при ${\rm {Re}}\,s<1/2$ ряд заведомо не сходится, даже условно.

При ${\rm {Re}}\,s>1$ справедлива также формула:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}$

• $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)}{n^{s}}}={\frac {p^{s}}{(1-p^{s})\zeta (s)}},$ где p — простое число.
• Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k).$

• Справедливы асимптотические соотношения:

${\frac {1}{x}}\sum \limits _{n\leq x}\mu (n)=o(1)$ при $x\rightarrow \infty$

${\frac {1}{x}}\sum \limits _{n\leq x}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)}}+O({\frac {1}{\sqrt {x}}})$,

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна $1-1/\zeta (2)=0,3920729$, а плотность множества единиц (или минус единиц) $1/2\zeta (2)=0,30396355$. На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций $f$ и $g$,

$g(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)$

тогда и только тогда, когда

$f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)$.

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций $f(x)$ и $g(x)$, определённых при $x\geqslant 1$,

$g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)$

тогда и только тогда, когда

$f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)$.

Здесь сумма $\sum _{n\leqslant x}$ интерпретируется как $\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }$.

Обобщённая функция Мёбиуса

Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения $\prec$. Будем считать, что $a\preccurlyeq b\iff a\prec b\lor a=b$.

Определение

Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.

${\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{{\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&a\not \preccurlyeq b\end{cases}}$

Формула обращения

Пусть функции $g$ и $f$ принимают вещественные значения на множестве $A$ и выполнено условие $g(x)=\sum \limits _{y\preccurlyeq x}{f(y)}$.

Тогда $f(x)=\sum \limits _{y\preccurlyeq x}{{\mu _{A}^{*}}(y,x)g(y)}$

Связь с классической функцией Мёбиуса

Если взять в качестве $A$ множество натуральных чисел, приняв за отношение $a\prec b$ отношение $a\mid b\land a\not =b$, то получим ${\mu _{\mathbb {N} }^{*}}(a,b)=\mu \left({\frac {b}{a}}\right)$, где $\mu$ - классическая функция Мёбиуса.

Это, в частности, означает, что $\mu (n)={\mu _{\mathbb {N} }^{*}}(1,n)$, и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества $\sum \limits _{k=1}^{n}{(-1)^{k}C_{n}^{k}}=0$, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

См. также

• Свёртка Дирихле

Литература

• Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
• Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Ссылки

• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
• Обобщённая формула обращения Мёбиуса