Логика высказываний

Логика высказываний (или пропозициональная логика от англ. propositional logic) — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка. Логика высказываний является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений и известна ещё со времён античности.

Основные понятия

Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, — и (пропозициональная) формула, определяемая индуктивно следующим образом:

1. Если P — пропозициональная переменная, то P — формула.
2. Если A — формула, то $\neg A$ — формула.
3. Если A и B — формулы, то $(A\to B)$, $(A\wedge B)$ и $(A\vee B)$ — формулы.
4. Других соглашений нет.

Знаки $\neg ,\wedge ,\vee$ и $\to$ (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.

Правила построения формул логики высказываний

1. Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня. Если элементарное высказывание всегда верно, мы будем его обозначать буквой И, а если оно всегда неверно, — буквой Л. Тогда формулы первого уровня — это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка.
2. Пусть Ф1 и Ф2 — формулы ненулевого уровня. Тогда записи (¬(Ф1)), ((Ф1)$\vee$(Ф2)), ((Ф1)$\wedge$(Ф2)), ((Ф1)→(Ф2)) также являются формулами. Если же одна из формул Ф1 и Ф2 , к которым применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, то она в скобки не заключается.

Теперь, зная буквы-элементарные высказывания, мы никогда не ошибёмся, определяя, является ли формулой запись, содержащая эти буквы, скобки и символы связок, то есть правильно ли построено сложное высказывание. В процессе подобного опознавания мы выделяем части формулы, то есть более короткие формулы, из которых на каждом этапе строится более длинная формула с применением одной связки. Самыми простыми частями формулы являются, разумеется, элементарные высказывания. Значит, логический анализ формулы сводится к выделению всех её частей.

Пример

Пусть элементарными высказываниями являются А, В, С. Записи

¬ A$\wedge$ BC и (B)$\wedge$(B$\vee$A→C)

c формальной точки зрения не являются формулами, так как мы натыкаемся при их разборе на нарушение правил построения формул. (В первом случае отсутствует логическая связка между B и C и отсутствуют скобки вокруг ¬A. Во втором случае формула нулевого уровня В включена в скобки). А записи

(¬ A)$\wedge$(B$\vee$C) и B$\wedge$((B$\vee$A)→C)

вполне соответствуют требованиям построения формулы. В процессе анализа формулы (¬ A)$\wedge$(B$\vee$C) выделяются следующие её части:

               ( ¬A ) $\wedge$ ( B$\vee$C )
                      $\wedge$                     | Связующее действие
                 ¬A       B $\vee$ C             | Разделённые части (формулы первого уровня)
                 ¬          $\vee$               | Связующее действие
                 A        B    C             | Разделённые части (формулы нулевого уровня)
                                             | Все разделённые части являются элементарными высказываниями; разбор закончен.

В этом примере все элементарные высказывания были выделены на втором шаге исследования дерева. Но это совпадение; если бы вместо формулы первого уровня (¬A) была использована формула нулевого уровня А, то левая ветвь была бы короче правой.

Построенная нами конструкция отдалённо напоминает дерево, растущее вверх ногами. «Корень» его — исходная формула, роль «веток» играют логические связки. Там, где имеется разветвление, стоят части формулы. А на концах веток растут «листья» — элементарные высказывания.

Подобные конструкции часто используются в математике и в программировании, они так и называются «деревьями».

Соглашения о скобках

Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, математики приняли соглашения о скобках, по которым некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются так:

• Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются.
• Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например, $A\wedge B\wedge C$), то в скобки заключается сначала самая левая часть (т.е. две подформулы со связкой между ними). (Говорят также, что эти связки левоассоциативны.)
• Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно приоритетам: $\neg ,\wedge ,\vee$ и $\to$ (от высшего к низшему).

Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.

Например: запись $A\vee B\wedge \neg C$ означает формулу $(A\vee (B\wedge (\neg C)))$, а её длина равна 12.

Истинностное значение

Оценкой пропозициональных переменных называется функция из множества всех пропозициональных переменных в множество {0, 1} (т.е. множество истинностных значений). Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если дана оценка (т.е. определены истинностные значения входящих в неё переменных). Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок.

Оценка отрицания $\neg p$ задаётся таблицей:

$p\!$	$\neg p$
$0\!$	$1\!$
$1\!$	$0\!$

Значение двуместных логических связок $\rightarrow$ (импликация), $\vee$ (дизъюнкция) и $\wedge$ (конъюнкция) определяются так:

$p\!$	$q\!$	$p\rightarrow q$	$p\wedge q$	$p\vee q$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

Тождественно истинные формулы (тавтологии)

Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных. Вот несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:

Законы де Моргана:

1) $\neg (p\vee q)\leftrightarrow (\neg p\wedge \neg q)$;

2) $\neg (p\wedge q)\leftrightarrow (\neg p\vee \neg q)$;

Закон контрапозиции:

$(p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)$;

Законы поглощения:

1) $p\vee (p\wedge q)\leftrightarrow p$;

2) $p\wedge (p\vee q)\leftrightarrow p$;

Законы дистрибутивности:

1) $p\wedge (q\vee r)\leftrightarrow (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$;

2) $p\vee (q\wedge r)\leftrightarrow (p\vee q)\wedge (p\vee r)$.

Исчисление высказываний

Одним из возможных вариантов (Гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:

$A_{1}:A\rightarrow (B\rightarrow A)$;

$A_{2}:((A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C)))$;

$A_{3}:A\wedge B\rightarrow A$;

$A_{4}:A\wedge B\rightarrow B$;

$A_{5}:A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$;

$A_{6}:A\rightarrow (A\vee B)$;

$A_{7}:B\rightarrow (A\vee B)$;

$A_{8}:(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$;

$A_{9}:\neg A\rightarrow (A\rightarrow B)$;

$A_{10}:(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\rightarrow \neg B)\rightarrow \neg A)$;

$A_{11}:A\vee \neg A$.

вместе с единственным правилом:

${\frac {A\rightarrow B,A}{B}}$ (Modus ponens)

Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.

См. также

• Логика первого порядка
• Дизъюнктивная нормальная форма
• Конъюнктивная нормальная форма

Ссылки

• Логика высказываний.
• Примеры задач, адаптированных для детей среднего школьного возраста