Символ Леви-Чивиты

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается $\varepsilon _{ijk}$. Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см.ниже).

Другие названия:

• Абсолютно антисимметричный единичный тензор
• Полностью антисимметричный единичный тензор
• Абсолютно кососимметричный объект
• Тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора).
• Кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга)

Определение

Изображение символа Леви-Чивиты.

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&P(i,j,k)=+1\\-1&P(i,j,k)=-1\\0&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i\end{cases}}$

то есть для чётной перестановки P(i, j, k) равен 1 (для троек (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)), для нечётной перестановки P(i, j, k) равен −1 (для троек (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3)), а в остальных случаях равен нулю, при повторении. Для компонент $\ \varepsilon _{ijk}$ в левом базисе берутся противоположные числа.

Для общего случая (произвольных косоугольных координат) это определение обычно меняется на

$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+{\sqrt {g}}&P(i,j,k)=+1\\-{\sqrt {g}}&P(i,j,k)=-1\\0&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i\end{cases}}$

Для компонент $\ \varepsilon _{ijk}$ в левом базисе также берутся противоположные числа.

где $\ g$ — определитель матрицы метрического тензора $\ g_{ij}$, представляющий квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базис.

Такой набор компонент $\varepsilon _{ijk}$ представляет тензор (точнее — псевдотензор).

При этом, конечно, $\varepsilon ^{ijk}$ ,будет таким же, но с заменой $\ {\sqrt {g}}$ на $\ 1/{\sqrt {g}}$ .

$\varepsilon _{ijk}$ может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:

$\varepsilon _{ijk}=\left[{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}{\vec {e}}_{k}\right]$.

Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объему параллелепипеда, натянутого на базис $\ \{{\vec {e_{i}}}\}$. Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведенным выше.

• Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя ${\sqrt {g}}\$ в любых базисах (т.е. таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в нашем определении для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на ${\sqrt {g}}\$ объект (совпадающий с $\varepsilon _{ijk}$ в нашем определении и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, элементом объема. Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трехмерного пространства, но и для любой размерности).

Геометрический смысл

Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объемом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трехмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трех векторов

$V=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ и ${\vec {c}}$

Векторное произведение двух векторов

$S_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}$

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$, представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.

Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать $\varepsilon$ с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объем, а под площадью — (n−1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n−1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

$V=\varepsilon _{ijkm}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},$

$S_{i}=\varepsilon _{ijkm}a^{j}b^{k}c^{m}.$

Свойства

• Определитель матрицы A размера 3×3 можно записать (здесь подразумевается стандартный, а следовательно ортонормированный базис):

  ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$

• Векторное произведение двух пространственных векторов записывается через этот символ:

  ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}^{\ i}a^{j}b^{k}={\vec {c}}$, где $c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}$ - его компоненты, а $\ {\vec {e}}^{\ i}$ - векторы базиса.

• Смешанное произведение векторов тоже:

  $\left[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}\right]=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.$

• В следующей формуле $\delta$ обозначает символ Кронекера:

  $\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{lmn}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{l}&\delta _{i}^{m}&\delta _{i}^{n}\\\delta _{j}^{l}&\delta _{j}^{m}&\delta _{j}^{n}\\\delta _{k}^{l}&\delta _{k}^{m}&\delta _{k}^{n}\\\end{vmatrix}}.$

• В случае суммирования по общему индексу

$\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$

• В случае двух общих индексов $i,\;j$, тензор сворачивается следующим образом:

$\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}$

(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)

Обобщение на случай n измерений

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:

$\varepsilon _{ijk\ell \dots }=\left\{{\begin{matrix}~\\~\\~\end{matrix}}\right.$	$+{\sqrt {g}},$ если $(i,j,k,\ell ,\dots )$ есть чётная перестановка набора $(1,2,3,4,\dots )\;;$
	$-{\sqrt {g}},$ если $(i,j,k,\ell ,\dots )$ есть нечётная перестановка набора $(1,2,3,4,\dots )\;;$
	$0$, если хотя бы два индекса совпадают.

То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики $\ {\sqrt {g}}={\sqrt {det\{g_{ij}\}}}$ в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора (1,2,3,…,n), а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства n).

• В псевдоевклидовых пространствах в случае, если сигнатура метрики такова, что $\ g<0$, вместо него как правило берут $\ -g$, чтобы ${\sqrt {g}}$ получался вещественным.

• Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определен метрический тензор, или, скажем, $\ det\{g_{ij}\}=0$ или $\ det\{g^{ij}\}=0$.

Можно показать, что для n измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

• $\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{ijk\dots }=n!$

- что связано с тем, что существует n! перестановок набора (1,2,3,…,n), а следовательно столько же ненулевых компонент ε с n индексами.

• $\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{pqr\dots }=\det {\begin{vmatrix}\delta _{i}^{p}&\delta _{i}^{q}&\delta _{i}^{r}&\dots \\\delta _{j}^{p}&\delta _{j}^{q}&\delta _{j}^{r}&\dots \\\delta _{k}^{p}&\delta _{k}^{q}&\delta _{k}^{r}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{vmatrix}}.$

После раскрытия определителя появляется множитель n! и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

• Псевдоскалярное произведение двух векторов в двумерном пространстве:

  ${{\vec {a}}\vee {\vec {b}}}=\sum _{i,j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j}$

• Определитель матрицы A размера n×n можно удобно записать с использованием n-мерного символа Леви-Чивиты

  $det\ A\ =\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }A_{1i}A_{2j}A_{3k}\cdots =\sum _{i_{1},i_{2},i_{3},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3}\cdots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}A_{3i_{3}}\cdots A_{ni_{n}}$

что является по сути просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространенных). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты $\ \varepsilon _{ijk\ldots }$ принимают тут значения ±1.

• прямое n-мерное обобщение векторного произведения (n - 1) штук (n-мерных) векторов:

${\vec {p}}={{\vec {a}}\times {\vec {b}}\times {\vec {c}}\cdots }=\sum _{i,j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }{\vec {f}}^{i}a^{j}b^{k}c^{m}\cdots$,

где $p_{i}=\sum _{j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }a^{j}b^{k}c^{m}\cdots$ - его компоненты, а ${\vec {f}}^{\ i}$ - базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе).

• прямое n-мерное обобщение смешанного произведения n штук (n-мерных) векторов:

  $\left[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}\cdots \right]=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\cdots$

Безындексная запись (для n измерений)

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

$(*\eta )_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-k}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{j_{1},\ldots ,j_{k}}\varepsilon _{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{n-k}}$

(для произвольного тензора $\!\eta ,$ учитывая эйнштейновское правило суммирования).

См. также

• Символ Кронекера
• Метрический тензор
• Символ Кристоффеля

Ссылки

• Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. стр. 31).
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
• Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, (1977) Москва, «Мир» (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).
• Димитриенко Ю.И., Тензорное исчисление, М.:Высшая школа, 2001, 575 с.