Смешанное произведение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Сме́шанное произведе́ние 
векторов 
— скалярное произведение вектора 
на векторное произведение векторов 
и 
:
![(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \langle\mathbf a, [\mathbf b, \mathbf c]\rangle = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right)](http://upload.wikimedia.org/math/c/2/1/c2150e74128f1a5508e04bced4587f17.png)
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Смешанное произведение численно равно объёму параллелепипеда, образованного векторами 
.
[править] Свойства
- Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
- т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
![\lang \mathbf a, [\mathbf b, \mathbf c]\rang = \lang [\mathbf a, \mathbf b], \mathbf c\rang](http://upload.wikimedia.org/math/8/5/1/851f12e2a87042c1b81dc93b2e781b9d.png)
- Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов
и :
- В частности,
-
- Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
- Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами и
знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
- Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты:
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
[править] Обобщение
В 
-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы 
, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).
В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:
В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.
