Символ Леви-Чивиты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается  \varepsilon_{ijk}. Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см.ниже).

Другие названия:

  • Абсолютно антисимметричный единичный тензор
  • Полностью антисимметричный единичный тензор
  • Абсолютно кососимметричный объект
  • Тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора).
  • Кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга)

Определение[править | править вики-текст]

Изображение символа Леви-Чивиты.

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & P(i,j,k)=+1  \\
-1 & P(i,j,k)=-1  \\
0 & i=j \bigvee j=k \bigvee k=i
\end{cases}

то есть для чётной перестановки P(i, j, k) равен 1 (для троек (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)), для нечётной перестановки P(i, j, k) равен −1 (для троек (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3)), а в остальных случаях равен нулю, при повторении. Для компонент \ \varepsilon_{ijk} в левом базисе берутся противоположные числа.

Для общего случая (произвольных косоугольных координат с правой ориентацией базисных векторов) это определение обычно меняется на

 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+\sqrt{g} & P(i,j,k)=+1  \\
-\sqrt{g} & P(i,j,k)=-1  \\
0 & i=j \bigvee j=k \bigvee k=i
\end{cases}

где \ g — определитель матрицы метрического тензора \ g_{ij}, представляющий квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базис. Для компонент \ \varepsilon_{ijk} в левом базисе берутся противоположные числа.

Такой набор компонент \varepsilon_{ijk} представляет собой (истинный) тензор. Если, как это иногда делается в литературе, в качестве определения \varepsilon_{ijk} использовать приведённые выше формулы для любой — как правой, так и левой — системы координат, то получившийся набор чисел будет представлять псевдотензор.

При этом, конечно,  \varepsilon^{ijk} ,будет таким же, но с заменой \ \sqrt{g} на \ 1/\sqrt{g} .


\varepsilon_{ijk} может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:

\varepsilon_{ijk}=\left[\vec{e}_i\vec{e}_j\vec{e}_k\right].

Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объему параллелепипеда, натянутого на базис \ \{\vec {e_i}\}. Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведенным выше.

  • Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя \sqrt{g}\ в любых базисах (т.е. таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в нашем определении для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на \sqrt{g}\ объект (совпадающий с \varepsilon_{ijk} в нашем определении и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, элементом объема. Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трехмерного пространства, но и для любой размерности).

Геометрический смысл[править | править вики-текст]

Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объемом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трехмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трех векторов

 V = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}


Векторное произведение двух векторов

 S_i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы \vec{a} и \vec{b}, представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.


Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать \varepsilon с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объем, а под площадью — (n−1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n−1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

 V = \varepsilon_{ijkm} a^i b^j c^k d^m,
 S_i = \varepsilon_{ijkm} a^j b^k c^m.


Свойства[править | править вики-текст]


\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
  • В случае двух общих индексов i,\;j, тензор сворачивается следующим образом:

\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}

(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)

Обобщение на случай n измерений[править | править вики-текст]

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:

\varepsilon_{ijk\ell\dots} =
\left\{
\begin{matrix}
 ~ \\
 ~ \\
 ~
\end{matrix}
\right.
+\sqrt{g}, если (i,j,k,\ell,\dots) есть чётная перестановка набора (1,2,3,4,\dots)\;;
-\sqrt{g}, если (i,j,k,\ell,\dots) есть нечётная перестановка набора (1,2,3,4,\dots)\;;
0, если хотя бы два индекса совпадают.


То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики \ \sqrt{g} = \sqrt{det\{g_{ij}\}} в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора (1,2,3,…,n), а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства n).

  • Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определен метрический тензор, или, скажем, \ det\{g_{ij}\} = 0 или \ det\{g^{ij}\} = 0 .

Можно показать, что для n измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

  • 
\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon^{ijk\dots} = n!

- что связано с тем, что существует n! перестановок набора (1,2,3,…,n), а следовательно столько же ненулевых компонент ε с n индексами.

  •  \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon^{pqr\dots} = \det \begin{vmatrix}
\delta_i^p & \delta_i^q & \delta_i^r & \dots \\
\delta_j^p & \delta_j^q & \delta_j^r & \dots \\
\delta_k^p & \delta_k^q & \delta_k^r & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\end{vmatrix}.

После раскрытия определителя появляется множитель n! и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

  • Определитель матрицы A размера n×n можно удобно записать с использованием n-мерного символа Леви-Чивиты
    
det\ A \ = \sum_{i,j,k,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} A_{1i} A_{2j} A_{3k} \cdots
= \sum_{i_1,i_2,i_3,\ldots,i_n=1}^n \varepsilon_{i_1 i_2 i_3 \cdots i_n} A_{1 i_1} A_{2 i_2} A_{3 i_3} \cdots A_{n i_n}

что является по сути просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространенных). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты \ \varepsilon_{ijk\ldots} принимают тут значения ±1.


\vec{p} = {\vec a \times \vec b \times \vec c \cdots} =
\sum_{i,j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} \vec f^i a^j b^k c^m \cdots,

где p_i = \sum_{j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} a^j b^k c^m \cdots - его компоненты, а \vec{f}^{\ i} - базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе).

Безындексная запись (для n измерений)[править | править вики-текст]

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}=\frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}}

(для произвольного тензора \! \eta, учитывая эйнштейновское правило суммирования).

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. стр. 31).
  • Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
  • Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, (1977) Москва, «Мир» (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).
  • Димитриенко Ю.И., Тензорное исчисление, М.:Высшая школа, 2001, 575 с.