Бинарная операция

Бинарная операция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Определение

Пусть $A,\;B,\;C$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре $A,\;B$ со значениями в $C$ называется отображение $P \to C$, где $P \subset A\times B$

Если $A=B=C$, то действие называется внутренним, если $A=C$ или $B=C$ — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции $\circ$ результат её применения к двум элементам $x$ и $y$ записывается в виде $x\circ y$.

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

• префиксная (польская запись) — $\circ\,x\;y$;
• постфиксная (обратная польская запись) — $x\;y\,\circ$.

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Бинарная операция $\circ$ называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

$x\circ y=y\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.$

Ассоциативная операция

Бинарная операция $\circ$ называется ассоциативной, если

$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),\quad\forall x,\;y,\;z\in M.$

Для ассоциативной операции $\circ$ результат вычисления $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ при $n>2$ однозначно не определено.

Альтернативная операция

Бинарная операция $\circ$ называется альтернати́вной если

$(x\circ x)\circ y=x\circ(x\circ y)$ и $y\circ(x\circ x)=(y\circ x)\circ x,\quad\forall x,\;y\in M$.

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на $M$ называют умноже́нием, то её результат для элементов $x,\;y\in M$ называют их произведе́нием и обозначают $x\cdot y$ или $xy$. В этом случае нейтральный элемент $e\in M$, то есть элемент удовлетворяющий равенствам

$x\cdot e=e\cdot x=x,\quad\forall x\in M,$

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов $x,\;y\in M$ называют су́ммой и обозначают $x+y$. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

$x+0=0+x= x,\quad\forall x\in M.$

Обратная операция

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента, либо эти нейтральные элементы равны

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. также

• Арность
• Унарная операция
• Тернарная операция

Литература

• Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.