Бинарная операция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

[править] Определение

Пусть A,B,C - тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре A,B со значениями в C называется отображение P \to C, где P \subset A\times B

Если A = B = C, то действие называется внутренним, если A = C или B = C - внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

[править] Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для бинарной операции \cdot результат её применения к двум элементам x и y записывается в виде x\cdot y.

Это не значит что не используются другие формы записи бинарных операций. Префиксная - польская запись и постфиксная - обратная польская запись

[править] Типы бинарных операций

[править] Коммутативная операция

Основная статья: Коммутативная операция

Бинарная операция \cdot называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

x\cdot y = y\cdot x,\quad \forall x,y\in M.

[править] Ассоциативная операция

Основная статья: Ассоциативная операция

Бинарная операция \cdot называется ассоциативной, если

(x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z), \quad \forall x,y,z\in M.

Для ассоциативной операции \cdot результат вычисления x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n при n > 2 однозначно не определено.

[править] Альтернативная операция

Бинарная операция \cdot называется альтернати́вной если

(x\cdot x)\cdot y=x\cdot(x\cdot y) и y\cdot(x\cdot x)=(y\cdot x)\cdot x,\quad \forall x,y\in M.

[править] Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

[править] Записи

[править] Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на M называеют умноже́нием, то её результат для элементов x,y\in M называют их произведе́нием и обозначают x \cdot y или xy. В этом случае нейтральный элемент e \in M, то есть элемент удовлетворяющий равенствам

x \cdot e = e \cdot x = x,\quad \forall x \in M,

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

[править] Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов x,y\in M называют су́ммой и обозначают x + y. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

x+0 = 0 + x = x,\quad \forall x \in M.

[править] См. также

[править] Литература

  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. М.: Наука, 1988, с19, с430. ISBN 5-02-013792-8.
Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F»