Бинарная операция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Содержание |
[править] Определение
Пусть A,B,C - тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре A,B со значениями в C называется отображение
, где 
Если A = B = C, то действие называется внутренним, если A = C или B = C - внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.
[править] Замечание
Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для бинарной операции
результат её применения к двум элементам x и y записывается в виде
.
Это не значит что не используются другие формы записи бинарных операций. Префиксная - польская запись и постфиксная - обратная польская запись
[править] Типы бинарных операций
[править] Коммутативная операция
Бинарная операция
называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть
[править] Ассоциативная операция
Бинарная операция
называется ассоциативной, если
Для ассоциативной операции
результат вычисления
не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение
при n > 2 однозначно не определено.
[править] Альтернативная операция
Бинарная операция
называется альтернати́вной если
и
.
[править] Примеры
Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.
[править] Записи
[править] Мультипликативная запись
Если абстрактную бинарную операцию на M называеют умноже́нием, то её результат для элементов
называют их произведе́нием и обозначают
или xy. В этом случае нейтральный элемент
, то есть элемент удовлетворяющий равенствам
называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.
[править] Аддитивная запись
Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов
называют су́ммой и обозначают x + y. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут
[править] См. также
[править] Литература
- Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. М.: Наука, 1988, с19, с430. ISBN 5-02-013792-8.





