Бинарная операция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Бинарная операция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть A,\;B,\;C — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре A,\;B со значениями в C называется отображение P \to C, где P \subset A\times B

Если A=B=C, то действие называется внутренним, если A=C или B=C — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание[править | править вики-текст]

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции \circ результат её применения к двум элементам x и y записывается в виде x\circ y.

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

Типы бинарных операций[править | править вики-текст]

Коммутативная операция[править | править вики-текст]

Бинарная операция \circ называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

x\circ y=y\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.

Ассоциативная операция[править | править вики-текст]

Бинарная операция \circ называется ассоциативной, если

(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),\quad\forall x,\;y,\;z\in M.

Для ассоциативной операции \circ результат вычисления x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n при n>2 однозначно не определено.

Альтернативная операция[править | править вики-текст]

Бинарная операция \circ называется альтернати́вной если

(x\circ x)\circ y=x\circ(x\circ y) и y\circ(x\circ x)=(y\circ x)\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.

Примеры[править | править вики-текст]

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи[править | править вики-текст]

Мультипликативная запись[править | править вики-текст]

Если абстрактную бинарную операцию на M называют умноже́нием, то её результат для элементов x,\;y\in M называют их произведе́нием и обозначают x\cdot y или xy. В этом случае нейтральный элемент e\in M, то есть элемент удовлетворяющий равенствам

x\cdot e=e\cdot x=x,\quad\forall x\in M,

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись[править | править вики-текст]

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов x,\;y\in M называют су́ммой и обозначают x+y. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

x+0=0+x= x,\quad\forall x\in M.

Обратная операция[править | править вики-текст]

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента, либо эти нейтральные элементы равны

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.