Коммутативная операция

Первое известное использование термина коммутативность.

Пример, показывающий коммутативность сложения (3 + 2 = 2 + 3)

Коммутативная операция — это бинарная операция $\circ$, обладающая коммутативностью (от позднелат. commutativus — «меняющийся»), то есть переместительностью:

$x\circ y=y\circ x$ для любых элементов $x,\;y$.

В частности, если групповая операция является коммутативной, то группа называется абелевой. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным.

История

Термин «коммутативность» ввёл в 1814 году французский математик Франсуа Жозеф Сервуа (1767—1847).

Примеры

• Сумма и произведение действительных чисел коммутативны:

$a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in\R.$

• Конъюнкция и дизъюнкция коммутативны:

$a \land b \equiv b \land a; \quad a \lor b \equiv b \lor a.$

• объединение, пересечение и симметрическая разность множеств коммутативны:

$A \cup B = B \cup A; \quad A \cap B = B \cap A; \quad A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A.$

• Возведение в степень действительных чисел, вообще говоря, некоммутативно ($a^b \ne b^a$) и даже не ассоциативно:

$2^4 = 4^2 = 16$, но $2^5 = 32 \ne 5^2 = 25$.

См. также

• Антикоммутативность
• Аддитивность
• Ассоциативная операция
• Дистрибутивность
• Идемпотентность
• Булева алгебра