Нейтральный элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Содержание

Определение [править]

Пусть (M,\cdot) — множество M с определённой на нём бинарной операцией \cdot. Элемент e \in M называется нейтральным относительно \cdot, если

x \cdot e = e \cdot x = x, \quad \forall x \in M.

Иногда различают нейтральный слева элемент ~e_{\mathrm{l}}, для которого

e_{\mathrm{l}} \cdot x = x, \quad \forall x \in M,

и нейтральный справа элемент ~e_{\mathrm{r}}, для которого

 x \cdot e_{\mathrm{r}} = x, \quad \forall x \in M.

Замечания [править]

  • В общем случае нейтральный слева и нейтральный справа элементы могут не совпадать или же не существовать.
  • В приведённой выше мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть «единичным элементом» или просто «единицей». Если для обозначения операции используется аддитивная нотация +, то нейтральный элемент называют «нулём» (не путать с числами 1 и 0, соответственно).

Примеры [править]

Множество Бинарная операция Нейтральный элемент
Вещественные числа + (сложение) число 0
Вещественные числа \cdot число 1
Вещественные числа a^b (возведение в степень) число 1 (нейтральный справа)
Функции вида f: M \to M f^{(n)} (дифференцирование) число 0 [1] (нейтральный справа)
Векторное пространство + (сложение векторов) \vec 0 (нуль-вектор)
Матрицы размера m \times n + (матричное сложение) нулевая матрица
Матрицы размера n \times n \times (матричное произведение) единичная матрица
Функции вида f:M\to M \circ (композиция функций) тождественное отображение
Функции вида f: M \to M * (свёртка) \delta (дельта-функция)
Символьные строки конкатенация пустая строка
Расширенная числовая прямая \min\, (минимум) или \inf (инфимум) +\infty
Расширенная числовая прямая \max\, (максимум) или \sup (супремум) -\infty
Подмножества множества M \cap\, (пересечение множеств) M
Множества \cup (объединение множеств) \varnothing (пустое множество)
Булева логика \wedge (конъюнкция) \top (истина)
Булева логика \lor (дизъюнкция) \bot (ложь)

См. также [править]

Примечания [править]

  1. В дифференцировании ноль выступает нейтральным элементов в качестве порядка производной.