Нейтральный элемент

Не следует путать с Единица кольца.

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение

Пусть $(M,\cdot)$ — множество $M$ с определённой на нём бинарной операцией $\cdot$. Элемент $e \in M$ называется нейтральным относительно $\cdot$, если

$x \cdot e = e \cdot x = x, \quad \forall x \in M.$

Иногда различают нейтральный слева элемент $~e_{\mathrm{l}}$, для которого

$e_{\mathrm{l}} \cdot x = x, \quad \forall x \in M,$

и нейтральный справа элемент $~e_{\mathrm{r}}$, для которого

$x \cdot e_{\mathrm{r}} = x, \quad \forall x \in M.$

Замечания

• В общем случае нейтральный слева и нейтральный справа элементы могут не совпадать или же не существовать.

• В приведённой выше мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть «единичным элементом» или просто «единицей». Если для обозначения операции используется аддитивная нотация $+$, то нейтральный элемент называют «нулём» (не путать с числами 1 и 0, соответственно).

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	$+$ (сложение)	число 0
Вещественные числа	$\cdot$	число 1
Вещественные числа	$a^b$ (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Функции вида $f: M \to M$	$f^{(n)}$ (дифференцирование)	число 0 (нейтральный справа)
Векторное пространство	$+$ (сложение векторов)	$\vec 0$ (нуль-вектор)
Матрицы размера $m \times n$	$+$ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера $n \times n$	$\times$ (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида $f:M\to M$	$\circ$ (композиция функций)	тождественное отображение
Функции вида $f: M \to M$	* (свёртка)	$\delta$ (дельта-функция)
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	$\min\,$ (минимум) или $\inf$ (инфимум)	$+\infty$
Расширенная числовая прямая	$\max\,$ (максимум) или $\sup$ (супремум)	$-\infty$
Подмножества множества $M$	$\cap\,$ (пересечение множеств)	$M$
Множества	$\cup$ (объединение множеств)	$\varnothing$ (пустое множество)
Булева логика	$\wedge$ (конъюнкция)	$\top$ (истина)
Булева логика	$\lor$ (дизъюнкция)	$\bot$ (ложь)

См. также

• Обратный элемент
• Моноид
• Группа