Нейтральный элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть (M,\cdot) — множество M с определённой на нём бинарной операцией «\cdot». Элемент e \in M называется нейтральным относительно \cdot, если

x \cdot e = e \cdot x = x, \quad \forall x \in M.

Иногда различают нейтральный слева элемент ~e_{\mathrm{l}}, для которого

e_{\mathrm{l}} \cdot x = x, \quad \forall x \in M,

и нейтральный справа элемент ~e_{\mathrm{r}}, для которого

 x \cdot e_{\mathrm{r}} = x, \quad \forall x \in M.

Нейтральные слева и справа[править | править вики-текст]

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент e_{\mathrm l}, и нейтральный справа элемент e_{\mathrm r}, то они обязаны совпадать (так как e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l} \cdot e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l}).

Примеры[править | править вики-текст]

Множество Бинарная операция Нейтральный элемент
Вещественные числа + (сложение) число 0
Вещественные числа \cdot (умножение) число 1
Вещественные числа - (вычитание) число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа a^b (возведение в степень) число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая \div (деление) число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство + (сложение векторов) \vec 0 (нуль-вектор)
Матрицы размера m \times n + (матричное сложение) нулевая матрица
Матрицы размера n \times n \times (матричное произведение) единичная матрица
Функции вида f:M\to M \circ (композиция функций) тождественное отображение
Символьные строки конкатенация пустая строка
Расширенная числовая прямая \min\, (минимум) или \inf (инфимум) +\infty
Расширенная числовая прямая \max\, (максимум) или \sup (супремум) -\infty
Подмножества множества M \cap\, (пересечение множеств) M
Множества \cup (объединение множеств) \varnothing (пустое множество)
Исчисление высказываний \wedge (конъюнкция) \top (истина)
Исчисление высказываний \lor (дизъюнкция) \bot (ложь)

Терминология[править | править вики-текст]

В алгебре[править | править вики-текст]

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но и (иногда) групповую операцию в абелевых группах.

В теории решёток[править | править вики-текст]

В теории решёток, нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. также[править | править вики-текст]