Канторово множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ка́нторово мно́жество — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе. Описано в 1883 году Кантором.

Определения[править | править вики-текст]

Классическое построение[править | править вики-текст]

Из единичного отрезка C_0=[0,1] удалим среднюю треть, то есть интервал \,(1/3, 2/3). Оставшееся точечное множество обозначим через C_1. Множество C_1=[0,1/3]\cup[2/3,1] состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через C_2. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем C_3. Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств C_0\supset C_1\supset C_2\supset\dots. Пересечение

C=\bigcap_{i=0}^\infty C_i

называется Канторовым множеством.

Cantor set, in seven iterations

Множества C_0,\ C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4,\ C_5,\ C_6

С помощью троичной записи[править | править вики-текст]

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит Канторовому множеству, если у него есть одно такое представление, например 0,1_3\in C так как 0,1_3=0,0(2)_3.

Как аттрактор[править | править вики-текст]

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек \{x_n\} такие, что для любого n,

x_{n+1}=x_n/3 или x_{n+1}-1=(x_n-1)/3.

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

Как счётная степень простого двоеточия[править | править вики-текст]

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — \{0;1\}^{\aleph_0}[1]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству[2][3].

Свойства[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.