Канторово множество

Ка́нторово мно́жество есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Г. Кантором.

Определения

Классическое построение

Из единичного отрезка $C_0=[0,1]$ удалим среднюю треть, т. е. интервал $\,(1/3, 2/3)$. Оставшееся точечное множество обозначим через $C_1$. Множество $C_1=[0,1/3]\cup[2/3,1]$ состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через $C_2$. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем $C_3$. Дальше таким же образом получаем $C_4,\ C_5,\ C_6,\cdots$. Обозначим через $C$ пересечение всех $C_i$. Множество $C$ называется Канторовым множеством.

Множества $C_0,\ C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4,\ C_5,\ C_6$

С помощью троичной записи

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит Канторовому множеству, если у него есть одно такое представление, например $0,1_3\in C$ так как $0,1_3=0,0(2)_3$.

Как аттрактор

Рассмотрим все последовательности точек $\{x_n\}$ такие, что для любого n,

$x_{n+1}=x_n/3$ или $x_{n+1}-1=(x_n-1)/3$.

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является Канторовым множеством.

Свойства

• Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
  • В частности, оно замкнуто.
• Канторово множество континуально. В частности,
  • Канторово множество не счётно
• Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
• Канторово множество имеет промежуточную (т.е. не целую) Хаусдорфову размерность равную $\ln2/\ln3\approx 0,63$. В частности,
  • Канторово множество имеет нулевую меру Лебега.

См. также

• Канторова лестница
• Функция Минковского