Борелевская сигма-алгебра

Борелевская сигма-алгебра — это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются Борелевыми.

Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает множество вещественных чисел.

Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Названа в честь Эмиля Бореля.

Связанные понятия

• Борелева (борелевская) функция — отображение одного топологического пространства в другое (обычно оба суть пространства вещественных чисел), для которого прообраз любого борелевского множества есть борелевское множество.

Свойства

• Всякое борелевское множество на отрезке является измеримым относительно меры Лебега, но обратное неверно.

Пример измеримого по Лебегу, но не борелевского множества

Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое может не быть борелевским.

Рассмотрим функцию $f(x) = \tfrac{1}{2}(x+c(x))$ на отрезке $[0;1]$, где $c(x)$ — канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Так же измерима обратная к ней функция. Мера образа канторова множества равна $\tfrac{1}{2}$, а значит, мера образа его дополнения также равна $\tfrac{1}{2}$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $A$. Тогда его прообраз $f^{-1}(A)$ будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе $A$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества при измеримом отображении).