Неравенство Йенсена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Неравенство Йенсена обобщает тот факт, что секущая графика выпуклой функции находится над графиком.

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, введённое Иоганом Йенсеном и тесно связанное с определением выпуклой функции.

Формулировки[править | править вики-текст]

Конечный случай[править | править вики-текст]

Пусть функция f\left(x\right) является выпуклой на некотором промежутке \mathcal X и числа \ q_1,q_2,\ldots,q_n таковы, что \ q_1,q_2,\ldots,q_n>0 и \ q_{1}+q_2+\ldots+q_n=1. Тогда каковы бы ни были числа \ x_1,x_2,\ldots,x_n из промежутка \mathcal X, выполняется неравенство:

 f(q_1x_1+q_2x_2+\ldots+q_nx_n)\le q_1f(x_1)+q_2f(x_2)+\ldots+q_nf(x_n)

или

f \left( \sum_{i=1}^{n} q_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} q_i f (x_i).

Замечания:

  • Если функция \ f(x) вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
  • Сам Иоган Йенсен исходил из более частного соотношения, а именно
f \left( \frac {x_1+x_2}{2} \right) \le \frac {f(x_1)+f(x_2)} {2}, оно отвечает случаю q_1=q_2=\frac {1}{2}.

Интегральная формулировка[править | править вики-текст]

Для выпуклой функции \varphi\left( x \right) и интегрируемой функции f\left( x \right) выполняется неравенство

\varphi\left(\int_a^b  f(x)\, dx\right) \le \frac{1}{b-a}\int_a^b \varphi((b-a)f(x)) \,dx.

Вероятностная формулировка[править | править вики-текст]

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) — вероятностное пространство, и X\colon\Omega \to \mathbb{R} — определённая на нём случайная величина. Пусть также \varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R} — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если X, \varphi(X) \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), то

\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)],

где \mathbb{E}[\cdot] означает математическое ожидание.

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания[править | править вики-текст]

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, \mathcal{G}\subset \mathcal{F} — под-σ-алгебра событий. Тогда

\varphi(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)|\mathcal{G}],

где \mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}] обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры \mathcal{G}.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Неравенство Гёльдера[править | править вики-текст]

  • Пусть \ f(x)=x^k, где \ x>0, \ k>1 (выпуклая функция). Имеем
\left(\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}\right)^k \le \sum _{i=1}^{n} {q_ix_i^k},      \ q_1,\ldots,q_n>0 и \ q_1+\ldots+q_n=1

Обозначим \ q_i=\frac{p_i}{p_1+\ldots+p_n}, где \ p_1,\ldots,p_n - произвольные положительные числа, тогда неравенство запишется в виде

\left(\sum_{i=1}^{n} {p_ix_i}\right)^k \le \left(\sum _{i=1}^{n} {p_i}\right)^{k-1}\sum _{i=1}^{n} {p_ix_i^k}.

Заменяя здесь \ p_i на \ b_i^{\frac {k}{k-1}} и \ x_i на \frac {a_i}{b_i^{\frac{1}{k-1}}}, получаем известное неравенство Гёльдера:

\sum_{i=1}^{n} {a_ib_i} \le \left(\sum _{i=1}^{n} {a_i}^k\right)^\frac{1}{k}\left(\sum _{i=1}^{n} {b_i}^{\frac {k}{k-1}}\right)^\frac{k-1}{k}.

Неравенство Коши[править | править вики-текст]

  • Пусть \ f(x)=\ln x (вогнутая функция). Имеем
\sum _{i=1}^{n} {q_i\ln x_i}\le \ln\left(\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}\right) , или \ln\prod _{i=1}^{n} {x_i^{q_i}}\le \ln\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} , потенцируя получаем \prod _{i=1}^{n} {x_i^{q_i}}\le \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} .

В частности при q_i=\frac{1}{n} получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

\sqrt[n]{x_1 \ldots x_n}\le\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}.

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим[править | править вики-текст]

  • Пусть \ f(x)=x\ln x (выпуклая функция). Имеем
\left( \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} \right) \ln \left( \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} \right) \le \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i \ln x_i} . Положив q_i=\frac{\frac{1}{x_i}}{\sum_{i=1}^{n} {\frac{1}{x_i}}} и потенцируя, получаем
\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\le\left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим[править | править вики-текст]

  • Пусть \ f(x)=\frac{1}{x} (выпуклая функция). Имеем \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}} \le \sum_{i=1}^{n} {\frac{q_i}{x_i}}

В частности при q_i=\frac{1}{n} получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\le\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5.
  • Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.