Неравенство Йенсена

Неравенство Йенсена обобщает тот факт, что секущая графика выпуклой функции находится над графиком.

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, введённое Иоганом Йенсеном и тесно связанное с определением выпуклой функции.

Конечный случай

Пусть функция $f\left(x\right)$ является выпуклой на некотором промежутке $\mathcal X$ и числа $\ q_1,q_2,\ldots,q_n$ таковы, что $\ q_1,q_2,\ldots,q_n>0$ и $\ q_{1}+q_2+\ldots+q_n=1$. Тогда каковы бы ни были числа $\ x_1,x_2,\ldots,x_n$ из промежутка $\mathcal X$, выполняется неравенство:

$f(q_1x_1+q_2x_2+\ldots+q_nx_n)\le q_1f(x_1)+q_2f(x_2)+\ldots+q_nf(x_n)$

или

$f \left( \sum_{i=1}^{n} q_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} q_i f (x_i)$.

Замечания:

• Если функция $\ f(x)$ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
• Сам Иоган Йенсен исходил из более частного соотношения, а именно

$f \left( \frac {x_1+x_2}{2} \right) \le \frac {f(x_1)+f(x_2)} {2}$, оно отвечает случаю $q_1=q_2=\frac {1}{2}$.

Доказательство  

Доказательство проводится методом математической индукции.

• Для $\ n=2$ неравенство следует из определения выпуклой функции.
• Допустим, что оно верно для какого-либо натурального числа $\ n$, докажем, что оно верно и для $\ n+1$, то есть

$f(q_1x_1+q_2x_2+\ldots+q_nx_n+q_{n+1}x_{n+1})\le q_1f(x_1)+q_2f(x_2)+\ldots+q_nf(x_n)+q_{n+1}f(x_{n+1})$.

С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых $\ q_nx_n+q_{n+1}x_{n+1}$ одним слагаемым

$(q_n+q_{n+1}) \left( \frac {q_n}{q_n+q_{n+1}} x_n+ \frac {q_{n+1}}{q_n+q_{n+1}} x_{n+1} \right)$;

это даст возможность воспользоваться неравенством для $\ n$ и установить, что выражение выше не превосходит суммы

$q_1f(x_1)+q_2f(x_2)+\ldots+(q_n+q_{n+1}) f\left( \frac {q_n}{q_n+q_{n+1}} x_n+ \frac {q_{n+1}}{q_n+q_{n+1}} x_{n+1} \right)$.

Остается лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для $\ n=2$. Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью оправдано.

Интегральная формулировка

Для выпуклой функции $\varphi\left( x \right)$ и интегрируемой функции $f\left( x \right)$ выполняется неравенство

$\varphi\left(\int_a^b f(x)\, dx\right) \le \frac{1}{b-a}\int_a^b \varphi((b-a)f(x)) \,dx.$

Вероятностная формулировка

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — вероятностное пространство, и $X\colon\Omega \to \mathbb{R}$ — определённая на нём случайная величина. Пусть также $\varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если $X, \varphi(X) \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, то

$\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)]$,

где $\mathbb{E}[\cdot]$ означает математическое ожидание.

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, $\mathcal{G}\subset \mathcal{F}$ — под-σ-алгебра событий. Тогда

$\varphi(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)|\mathcal{G}]$,

где $\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]$ обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры $\mathcal{G}$.

Частные случаи

Неравенство Гёльдера

• Пусть $\ f(x)=x^k$, где $\ x>0,$ $\ k>1$ (выпуклая функция). Имеем

$\left(\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}\right)^k \le \sum _{i=1}^{n} {q_ix_i^k}$,      $\ q_1,\ldots,q_n>0$ и $\ q_1+\ldots+q_n=1$

Обозначим $\ q_i=\frac{p_i}{p_1+\ldots+p_n}$, где $\ p_1,\ldots,p_n$- произвольные положительные числа, тогда неравенство запишется в виде

$\left(\sum_{i=1}^{n} {p_ix_i}\right)^k \le \left(\sum _{i=1}^{n} {p_i}\right)^{k-1}\sum _{i=1}^{n} {p_ix_i^k}$.

Заменяя здесь $\ p_i$ на $\ b_i^{\frac {k}{k-1}}$ и $\ x_i$ на $\frac {a_i}{b_i^{\frac{1}{k-1}}}$, получаем известное неравенство Гёльдера:

$\sum_{i=1}^{n} {a_ib_i} \le \left(\sum _{i=1}^{n} {a_i}^k\right)^\frac{1}{k}\left(\sum _{i=1}^{n} {b_i}^{\frac {k}{k-1}}\right)^\frac{k-1}{k}$.

Неравенство Коши

• Пусть $\ f(x)=\ln x$ (вогнутая функция). Имеем

$\sum _{i=1}^{n} {q_i\ln x_i}\le \ln\left(\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}\right)$, или $\ln\prod _{i=1}^{n} {x_i^{q_i}}\le \ln\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}$, потенцируя получаем $\prod _{i=1}^{n} {x_i^{q_i}}\le \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}$.

В частности при $q_i=\frac{1}{n}$ получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

$\sqrt[n]{x_1 \ldots x_n}\le\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}$.

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим

• Пусть $\ f(x)=x\ln x$ (выпуклая функция). Имеем

$\left( \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} \right) \ln \left( \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} \right) \le \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i \ln x_i}$. Положив $q_i=\frac{\frac{1}{x_i}}{\sum_{i=1}^{n} {\frac{1}{x_i}}}$ и потенцируя, получаем

$\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\le\left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n}$ (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим

• Пусть $\ f(x)=\frac{1}{x}$ (выпуклая функция). Имеем $\frac{1}{\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}} \le \sum_{i=1}^{n} {\frac{q_i}{x_i}}$

В частности при $q_i=\frac{1}{n}$ получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

$\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\le\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

См. также

• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского
• Неравенство Гёльдера

Литература

• Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5
• Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0