Финслерова геометрия

Финслерова геометрия — одно из обобщений римановой геометрии. В финслеровой геометрии рассматриваются многообразия с финслеровой метрикой; то есть выбором гладкой нормы на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке.

Основные понятия

Пусть $M^n$ — $n$-мерное связное $C^{\infty}$-многообразие. Обозначим через $TM^n$ касательное расслоение $M^n$. Тогда финслеровой метрикой на $M^n$ называется функция $F\colon TM^n\rightarrow [0,\infty)$, удовлетворяющая свойствам:

1. $F\in C^{\infty}(TM^n\setminus\{0\})$ ;
2. $F$ положительно однородна первой степени, то есть для любой пары $(x,y)\in TM^n$ и числа $\lambda>0$,

   $\ F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y)$;

3. Для любой пары $(x,y)\in TM^n$ билинейная форма $\mathbf{g}_y\colon T_x M^n\times T_x M^n\rightarrow \mathbb{R}$,

   $\mathbf{g}_y(u,v)=\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial t\,\partial s} \lbrack F^2(x,y+su+tv)\rbrack |_{s=t=0}$

положительно определена.

Если положить $g_{ij}(x,y) = \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^i\partial y^j}[F^2(x,y)]$, то форму $\mathbf{g}_y(u,v)$ можно переписать в виде $\mathbf{g}_y(u,v)=g_{ij}(x,y)u^iv^j$

Для любого ненулевого векторного поля $Y$, определенного на $U \subset M^n$, $\mathbf{g}_Y(u,v)$ есть риманова метрика на $U$.

Для гладкой кривой $c:[a,b]\rightarrow M^n$, на многообразии $M^n$, с финслеровой метрикой $F$, длина определяется интегралом $L_F(c)=\int_a^b F(c(t),\dot{c}(t))dt$

Оператор ковариантного дифференцирования Черна (или Рунда) $\nabla:T_xM^n \times \Gamma^\infty(TM^n)\rightarrow T_xM^n$ определяется как $\nabla_yU:=\{dU^i(y)+U^jN_j^i(x,y)\}\frac{\partial}{\partial x^i}|_x,$ где $y\in T_xM^n$, $U\in \Gamma^\infty(TM^n)$ и $N^i_j(x,y)=\frac{\partial}{\partial y^j}\left[\frac{1}{4} g^{il}(x,y)\left\{2\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k}(x,y)-\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l}(x,y) \right\}y^my^k\right].$

Введенная таким образом связность на многообразии не является, вообще говоря, афинной связностью. Связность будет афинной в том и только в том случае, когда финслерова метрика будет метрикой Бервальда. По определению это значит что уравнения геодезических имеют такой же вид, как и в римановой геометрии, или геодезические коэффициенты

$G^i(x,y)=\frac{1}{4} g^{il}(x,y)\left\{2\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^k}(x,y)-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}(x,y) \right\}y^jy^k$ представимы в виде $G^i(x,y) = \Gamma^i_{jk}(x)y^j y^k.$

Для вектора $y\in T_xM^n\backslash \{0\}$ рассмотрим функции $R_k^i(y)=2\frac{\partial G^i}{\partial x^k}-\frac{\partial^2 G^i}{\partial x^j \partial y^k}y^j+2G^j\frac{\partial^2G^i}{\partial y^j \partial y^k}-\frac{\partial G^i}{\partial y^j}\frac{\partial G^j}{\partial y^k}$ Тогда семейство преобразований $\mathbf{R}=\left\{\mathbf{R}_y=R_k^i(y)\frac{\partial}{\partial x^i}\otimes dx^k|_x:T_xM^n\rightarrow T_xM^n,y\in T_xM^n\backslash\{0\}, x \in M^n\right\}$ называется римановой кривизной. Пусть $P\subset T_xM^n$ касательная 2-мерная плоскость. Для вектора $y \in P\backslash\{0\}$, определим $K(P,y)=\frac{\mathbf{g}_y(\mathbf{R}_y(u),u)}{\mathbf{g}_y(y,y)\mathbf{g}_y(u,u)-\mathbf{g}_y(y,u)^2},$ где $u\in P$ такой вектор, что $P=\mathrm{span}\{y,u\}$. $K(P,y)$ не зависит от выбора $u\in P$. Число $K(P,y)$ называется флаговой кривизной флага $(P,y)$ в $T_xM^n$.

История

Систематическое изучение многообразий с такой метрикой началось с диссертации Пауля Финслера, увидевшей мир в 1918 г., и поэтому название таких метрических пространств теперь связывают с его именем. Фактором, положившим начало исследовательской деятельности в этом направлении, следует, по-видимому, считать введение Каратеодори новых геометрических методов в вариационное исчисление для изучения задач в параметрической форме. Ядром этих методов является понятие индикатрисы, причем свойство выпуклости индикатрисы играет в этих методах важную роль, поскольку оно обеспечивает выполнение необходимых условий минимума в вариационной задаче для стационарных кривых. Именно поэтому диссертация Финслера должна рассматриваться как первый шаг в этом направлении.

Несколькими годами позже в общем развитии финслеровой геометрии происходит интересный поворот от первоначальной точки зрения Финслера к новым теоретическим методам. Финслер, руководствуясь в основном понятиями вариационного исчисления, не использовал методов тензорного анализа. В 1925 тензорный анализ был применен к теории почти одновременно Сингом, Тейлором и Бервальдом.

Новый поворот в развитии теории произошел в 1934 г., когда Эли Картан опубликовал свой трактат о финслеровых пространствах. Картановский подход преобладал практически во всех последующих исследованиях геометрии финслеровых пространств, и несколько математиков выразили мнение, что в результате теория достигла своей окончательной формы. Это мнение, однако, было правильно только до некоторой степени. Метод Картана вел к развитию финслеровой геометрии путем прямого развития методов римановой геометрии.

Критику методов Картана независимо друг от друга высказали несколько исследователей, в частности Вагнер, Буземан и Рунд. Ими было подчеркнуто, что естественной локальной метрикой финслерова пространства является метрика Минковского, тогда как произвольное наложение евклидовой метрики затемняет ряд наиболее интересных характеристик финслеровых пространств. По этим причинам в начале 50-х годов были выдвинуты дальнейшие теории. В результате этого заметно увеличились аналитические трудности. Буземан даже сказал по этому поводу, что «Финслерова геометрия со стороны представляет собой лес, в котором вся растительность состоит из тензоров».

В настоящее время значительный вклад в развитие финслеровой геометрии вносит американский математик Шен (англ. Z. Shen). Он написал ряд книг и статей, благодаря которым изучение финслеровой геометрии становится доступным широкому кругу математиков.

Вариации и обобщения

• Пространства Бервальда-Моора

Внешние ссылки

• Сайт Шена о финслеровой геометрии.  (англ.)
• Некоммерческий фонд развития исследований по финслеровой геометрии.

Литература

• Х. Рунд Дифференциальная геометрия финслеровых пространств, — М.: «Наука», 1981.
• D. Bao, S.S. Chern and Z. Shen An Introduction to Riemann-Finsler Geometry, — Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98948-X.
• S. Chern Finsler geometry is just the Riemannian geometry without the quadratic restriction, — Notices AMS, 43 (1996), pp. 959-63.
• H. Rund The Differential Geometry of Finsler Spaces, — Springer-Verlag, 1959. ASIN B0006AWABG.
• Z. Shen Lectures on Finsler Geometry, — World Scientific Publishers, 2001. ISBN 981-02-4531-9.
• П. К. Рашевский Полиметрическая геометрия, — Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. Выпуск 5. ОГИЗ, 1941