Двоичный логарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График двоичного логарифма

Двоичный логарифмлогарифм по основанию 2. Другими словами, двоичный логарифм числа b есть решение уравнения ~2^x=b.

Двоичный логарифм числа b существует, если ~b>0. Он обозначается ~\operatorname{lb} b (согласно ISO 31-11), ~\operatorname{lb} (b) или ~\log_2 b. Примеры:

\operatorname{lb} 1=0;\, \operatorname{lb} 2=1;\, \operatorname{lb} 16=4
\operatorname{lb} 0{,}5=-1;\, \operatorname{lb} \frac{1}{256}=-8

Алгебраические свойства[править | править исходный текст]

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны[1]:

Формула Пример
Произведение  \operatorname{lb}(x y) = \operatorname{lb} (x) + \operatorname{lb} (y) \,  \operatorname{lb} (256) = \operatorname{lb}(16 \cdot 16) = \operatorname{lb} (16) + \operatorname{lb} (16) = 4 + 4 = 8 \,
Частное от деления \operatorname{lb} \!\left(\frac x y \right) = \operatorname{lb} (x) - \operatorname{lb} (y) \,  \operatorname{lb} \left(\frac{1}{32}\right) = \operatorname{lb} (1) - \operatorname{lb} (32) = 0 - 5 = -5
Степень \operatorname{lb}(x^p) = p \operatorname{lb} (x) \,  \operatorname{lb} (1024) = \operatorname{lb} (2^{10}) = 10 \operatorname{lb} (2) = 10 \,
Корень \operatorname{lb} \sqrt[p]{x} = \frac {\operatorname{lb} (x)} p \,  \operatorname{lb} \sqrt{8} = \frac{1}{2}\operatorname{lb} 8 = \frac{3}{2} = 1{,}5

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

\operatorname{lb} |x y| = \operatorname{lb} (|x|) + \operatorname{lb} (|y|),
\operatorname{lb} \!\left|\frac x y \right| = \operatorname{lb} (|x|) - \operatorname{lb} (|y|),

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

 \operatorname{lb}(x_1 x_2 \dots x_n) = \operatorname{lb} (x_1) + \operatorname{lb} (x_2) + \dots + \operatorname{lb} (x_n)

Связь двоичного, натурального и десятичного логарифмов:

\operatorname{lb} x \approx 1{,}442695 \ln x
\operatorname{lb} x \approx 3{,}321928 \lg x

Функция двоичного логарифма[править | править исходный текст]

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию двоичного логарифма: ~y = \operatorname{lb} x. Она определена при всех ~x>0. Область значений: E(y)=(-\infty; + \infty ). График этой кривой часто называется логарифмикой[2].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

\frac {d} {dx} \operatorname{lb}  x = \frac {\operatorname{lb}  e} {x}

Ось ординат (x=0) является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

\lim_{x \to 0+0} \operatorname{lb}  x = - \infty

Применение[править | править исходный текст]

Теория информации[править | править исходный текст]

Двоичный логарифм натурального числа N позволяет определить число цифр b(N) во внутреннем компьютерном (битовом) представлении этого числа:

b(N) = \lfloor \operatorname{lb} N \rfloor + 1 (скобки обозначают целую часть числа)

Информационная энтропия — мера количества информации, также основана на двоичном логарифме

Сложность рекурсивных алгоритмов[править | править исходный текст]

Оценка асимптотической сложности рекурсивных алгоритмов, основанных на принципе «разделяй и властвуй»[3] — таких, как быстрая сортировка, быстрое преобразование Фурье, двоичный поиск и т. п.

Другие применения[править | править исходный текст]

Число кругов игры по олимпийской системе равно двоичному логарифму от числа участников соревнований.

В теории музыки, чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для \log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585. Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов[4].

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
  2. Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  3. Harel, David; Feldman, Yishai A. Algorithmics: the spirit of computing. — New York: Addison-Wesley, 2004. — P. 143. — ISBN 978-0-321-11784-7
  4. Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. М.: Физматгиз, 1963. 20 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 37.