Изометрия (математика)

Изоме́три́я, или движе́ние, или (реже) наложе́ние — биекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, т. е. если $A'$ и $B'$ — образы точек $A$ и $B$, то $|A'B'|=|AB|$.

Термин «изометрия» более распространён в метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии), а также в механике (где слову «движение» придаётся совсем иной смысл). В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.

Термин «движение» более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях.

В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве изометрия автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.

Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.

Виды изометрии

На плоскости

• Осевая симметрия (отражение);
• Параллельный перенос;
• Поворот;
• Скользящая симметрия — композиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой.

В трёхмерном пространстве

• Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
• Параллельный перенос;
• Поворот;
• Скользящая симметрия — композиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
• Зеркальный поворот — композиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота;
• Винтовое наложение — композиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой.

В n-мерном пространстве

В $n$-мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и композициям тех и других.

В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как композиции (собственных) вращений и зеркальных отражений.

Общие свойства изометрии

• Суперпозиция изометрий также является изометрией.
• Изометрии евклидова пространства E относительно операции суперпозиции образуют группу Iso(E), являющуюся группой Ли.
• Изометрия — частный случай аффинного преобразования (так что Iso(E) является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы Aff(E) пространства E).
• Изометрия, будучи аффинным преобразованием, всегда переводит отрезок снова в отрезок.

Движения как композиции симметрий

Композиция двух отражений относительно несовпадающих параллельных осей дает параллельный перенос.

Композиция двух отражений относительно непараллельных осей дает поворот.

Любую изометрию в n-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде композиции не более чем n+1 отражений.

Так, параллельный перенос и поворот — композиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое наложение — четырёх.