Изометрия (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Изоме́три́я, или движе́ние, или (реже) наложе́ние — биекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, т. е. если A' и B' — образы точек A и B, то |A'B'|=|AB|.

Термин «изометрия» более распространён в метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии), а также в механике (где слову «движение» придаётся совсем иной смысл). В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.

Термин «движение» более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях.

В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве изометрия автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.

Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.

Виды изометрии[править | править вики-текст]

На плоскости[править | править вики-текст]

Согласно теореме Шаля, любое движение плоскости относится к одному из следующих типов:

В трёхмерном пространстве[править | править вики-текст]

  • Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
  • Параллельный перенос;
  • Поворот;
  • Скользящая симметрия — композиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
  • Зеркальный поворот — композиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота;
  • Винтовое наложение — композиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой.

В n-мерном пространстве[править | править вики-текст]

В n-мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и композициям тех и других.

В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как композиции (собственных) вращений и зеркальных отражений.

Общие свойства изометрии[править | править вики-текст]

Движения как композиции симметрий[править | править вики-текст]

Композиция двух отражений относительно несовпадающих параллельных осей дает параллельный перенос.
Композиция двух отражений относительно непараллельных осей дает поворот.

Любую изометрию в n-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде композиции не более чем n+1 отражений.

Так, параллельный перенос и поворот — композиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое наложение — четырёх.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — С. 201.