Квадрат (алгебра)

y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Квадра́том числа называется результат умножения числа на само себя (возведения числа в степень 2).

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849...

Квадрат натурального числа $n$ можно также представить в виде суммы первых $n$ нечетных чисел:

1: $1 = 1$

2: $4 = 1 + 3$

...

7: $49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$

...

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
$n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + (n - 1) + (n - 1) + n$
Пример:

1: $1 = 1$

2: $4 = 1 + 1 + 2$

...

4: $16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4$

...

Сумма квадратов первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле: $\sum_{i=1}^n i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}$

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

$\left(a+bi\right)^2 = \left(a^2 - b^2\right) + 2abi.$

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

$r\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)^2 = r^2\left(\cos{2\phi}+i\sin{2\phi}\right).$

Геометрический смысл

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

См. также

• Извлечение квадратного корня — обратная операция по отношению к возведению в квадрат.
• Куб числа