Квадрат (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Квадра́т числа x — это результат умножения числа на себя: x \cdot x. Обозначение: x^2.

Вычисление x^2 — это математическая операция, называемая возведением в квадрат. Эта операция представляет собой частный случай возведения в степень, а именно — возведение числа x в степень 2.

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849...

Исторически натуральные числа из этой последовательности называли «квадратными».

Способы представления[править | править исходный текст]

Квадрат натурального числа n можно представить в виде суммы первых n нечетных чисел:

1: 1 = 1
2: 4 = 1 + 3

7: 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + (n - 1) + (n - 1) + n
Пример:

1: 1 = 1
2: 4 = 1 + 1 + 2

4: 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4

Сумма квадратов первых n натуральных чисел вычисляется по формуле:
\sum_{k=1}^n k^2  = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}

Квадрат комплексного числа[править | править исходный текст]

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

\left(a+bi\right)^2 = \left(a^2 - b^2\right) + 2abi.

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

\left(r\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\right)^2 = r^2\left(\cos{2\phi}+i\sin{2\phi}\right).

Геометрический смысл[править | править исходный текст]

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

Литература[править | править исходный текст]

  • Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

См. также[править | править исходный текст]