Квадратное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квадратное число — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Поэтому квадратные числа именуются также полными квадратами и точными квадратами, хотя такие термины имеют более общее значение. Иными словами, квадратным является целое число, квадратный корень которого тоже целый. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3 (может быть представлено в виде квадрата 3 × 3 точки).

Примеры[править | править вики-текст]

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)


Таблица квадратов
_0 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9
0_ 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1_ 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2_ 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3_ 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4_ 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5_ 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6_ 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7_ 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8_ 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9_ 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Представления и свойства[править | править вики-текст]

Квадрат натурального числа n можно представить в виде суммы первых n нечётных чисел:

1: 1 = 1
2: 4 = 1 + 3
...
7: 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
...

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + (n - 1) + (n - 1) + n
Пример:

1: 1 = 1
2: 4 = 1 + 1 + 2
...
4: 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4
...

Сумма квадратов первых n натуральных чисел вычисляется по формуле:
\sum_{k=1}^n k^2  = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}

Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию.[1] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.

Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.

В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:

  • Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
  • Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нолей.
  • Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
  • Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:
последняя
цифра
предпоследняя
цифра
0 0
5 2
1, 4, 9 чётная
6 нечётная

Геометрическое представление[править | править вики-текст]

1
* x
4
* *
* *
* *
* *
9
* * *
* * *
* * *
* * *
* * *
* * *
16
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
25
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]