Кусочно-заданная функция

Кусочно-заданная функция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой.

Формальное определение и задание

Пусть заданы $x_1<x_2<\ldots<x_n$ — точки смены формул.

Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-линейную функцию обычно задают на каждом из интервалов $(-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty)$ отдельно. Записывают это в виде: $f(x)= \begin{cases} f_0(x),\quad x<x_1\\ f_1(x),\quad x_1<x<x_2\\ \cdots\\ f_n(x),\quad x_n<x \end{cases}$

Виды кусочно-заданных функций

• Если все функции — постоянные, то $f(x)$ — кусочно-постоянная функция.
• Если все функции $f_i(x)$ являются линейными функциями, то $f(x)$ — кусочно-линейная функция.
• Если все функции $f_i(x)$ являются непрерывными функциями, то $f(x)$ — кусочно-непрерывная функция. При этом сама она может не являться непрерывной.
• Если все функции $f_i(x)$ являются дифференцируемыми функциями, то $f(x)$ — кусочно-гладкая функция. При этом точки смены формул могут быть (а могут и не быть) точками излома.
• Если все функции $f_i(x)$ являются монотонными функциями, то $f(x)$ — кусочно-монотонная функция. При этом на соседних интервалах монотонность может быть разной.