Модель системы аксиом

Модель системы аксиом — какой-либо математический объект, который отвечает данной системе аксиом. Истинность системы аксиом можно доказать, только построив модель в рамках другой системы аксиом, которая считается «истинной». Кроме того, модель позволяет наглядно продемонстрировать некоторые особенности данной аксиоматической теории.

Об аксиоматических теориях

Основная статья: Аксиоматическая теория

Аксиоматическая теория строится так: вводятся несколько базовых объектов (в планиметрии это точка, прямая, плоскость, «принадлежит», «находится между» и движение). Эти объекты не получают определений, зато постулируется ряд аксиом, которые и объясняют свойства этих объектов.

Аксиоматическая теория не говорит явно, существуют ли точки, прямые и плоскости. Поэтому возможны два варианта:

• Из системы аксиом будут выведены два противоположных утверждения. Такая система называется противоречивой — это значит, что точек, прямых и плоскостей не существует, а значит, не существует и планиметрии.
• Будет построена некоторая математическая конструкция (например, на основе арифметики), в рамках которой будут определены «точки», «прямые» и «плоскость». Это и будет моделью планиметрии. Построение модели подтверждает, что система аксиом состоятельна.

(в действительности для планиметрии верно второе, см. ниже.)

Примеры

Модель формальной логики в рамках булевой алгебры

• «Переменные» — булевы переменные из множества {0,1}.
• Знаки $\neg ,\wedge ,\vee$ и $\to$ — соответствующие операции булевой алгебры.

Подстановкой всех возможных A, B, C в аксиомы убеждаемся, что в этой модели выполняются все аксиомы. Точно так же проверяется истинность modus ponens.

Модель планиметрии в рамках арифметики

«Точка» — пара действительных чисел $(x,y)$.

«Прямая» — все точки, для которых $ax+by=c$, где $a$ и $b$ одновременно не равны 0.

«Плоскость» — все возможные пары действительных чисел $(x,y)$.

Модель геометрии Лобачевского в рамках планиметрии

Модель Пуанкаре

Основная статья: Геометрия Лобачевского § Модели

Основная статья: Модель Пуанкаре

Наиболее интересной моделью геометрии Лобачевского является модель Пуанкаре. «Плоскость» — это внутренность круга, «точкой» считается точка, а «прямой» — прямая или дуга, перпендикулярная окружности. Углы считаются как в геометрии Евклида.

Физический смысл модели таков. Пусть скорость света в круглом «мире» изменяется от c в центре до нуля на краях по закону $c(1-(r/R)^{2})^{2}$ (а значит, показатель преломления будет 1 в центре и $\infty$ на краях). Тогда свет будет двигаться по дугам, перпендикулярным границе, но не дойдёт до границы за конечное время. Обитателям этот «мир» будет казаться бесконечным, а геометрию Лобачевского они примут на веру.

См. также

• Теория множеств