Направленное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Направленное множество в математике — непустое множество A с заданным на нем рефлексивным транзитивным отношением ≤ (то есть предпорядком), обладающее дополнительным свойством: для любых двух элементов из A найдется элемент из A следующий за ними.

Направленные множества являются обобщением вполне упорядоченных множеств, то есть любое вполне упорядоченное множество является направленным (для частично упорядоченного множества это, вообще говоря, неверно). В топологии направленные множества используются для определения направленностей, являющихся обобщением последовательности и объединяющих понятие предела, используемого в математическом анализе.

Примеры[править | править вики-текст]

Примеры направленных множеств:

  • Множество натуральных чисел N со стандартным отношением ≤ есть направленное множество.
  • Множество N \times N пар натуральных чисел становится направленным множеством, если определить отношение следующим образом: (n0 , n1) ≤ (m0, m1) тогда и только тогда, когда n0m0 и n1m1.
  • Если x0 — вещественное число, мы можем сделать из R направленное множество: ab тогда и только тогда, когда
    |ax0| ≥ |bx0|. Это пример направленного множества, не являющегося частично упорядоченным.
  • Тривиальным примером частично упорядоченного множества, не являющегося направленным, является множество {a, b}, в котором определены лишь отношения aa и bb.
  • Если T — топологическое пространство, а x0 — точка из T, то мы можем задать направление на множестве окрестностей x0 следующим образом: UV тогда и только тогда, когда U содержит V.
    • Для всех U: UU; так как U содержит себя.
    • Для всех U,V,W: если UV и VW, то UW; так как если U содержит V и V содержит W, то U содержит W.
    • Для всех U, V: существует множество U \cap V такое, что UU \cap V и VU \cap V; так как и U, и V содержат U \cap V.
  • В частично упорядоченном множестве P, множество нижних границ некоторого элемента из P, то есть множество вида {a| a из P, ax} где x — фиксированный элемент из P, является направленным множеством.

Направленные подмножества[править | править вики-текст]

Отношение направления может не быть антисимметричным, и, следовательно, направленные множества не всегда являются частично упорядоченными. Однако термин направленное множество также часто употребляется в контексте частично упорядоченных множеств. Таким образом, подмножество A частично упорядоченного множества (P,≤) называется направленным подмножеством, если A непусто, и для всех a и b из A существует c из A такой, что ac и bc. Здесь отношение порядка на элементах из A наследуется от P; поэтому рефлексивность и транзитивность не требуются в явном виде.

Литература[править | править вики-текст]

  • Kelley, John L. General topology / John L. Kelley. — Toronto [etc.] : Van Nostrand, 1955. — XIV, 298 p. — (The University series in higher mathematics)
  • Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1.