Окружность Аполлония

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
\frac{d_1}{d_2}=\textrm{const}
Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D) и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Пусть на плоскости даны две точки A и B. Рассмотрим все точки P этой плоскости, для каждой из которых

\frac{|PA|}{|PB|}=k,

где k — фиксированное положительное число. При k=1 эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку AB; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — гипербола, постоянной суммы — эллипс, постоянного произведения — овал Кассини.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Радиус окружности Аполлония равен R=\frac{k}{|k^2-1|}|AB|
  • Отрезок PC между точкой на окружности и точкой пересечения ее с прямой AB является биссектрисой самого угла \angle APB или угла, смежного с ним.
  • Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

Приложения[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]