Эллиптические координаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эллиптическая система координат

Эллиптические координаты — двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями являются конфокальные эллипсы и гиперболы. За два фокуса F_1 и F_2 обычно берутся точки -c и +c на оси X декартовой системы координат.

Основное определение[править | править исходный текст]

Эллиптические координаты (\mu,\;\nu) обычно определяются по правилу:

 \left \{ \begin{matrix} x=c\,\mathrm{ch}\,\mu\cos\nu \\ y=c\,\mathrm{sh}\,\mu\sin\nu \end{matrix} \right.

где \mu\geqslant 0, \nu\in[0,\;2\pi).

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

\frac{x^2}{c^2\,\mathrm{ch}^2\,\mu}+\frac{y^2}{c^2\,\mathrm{sh}^2\,\mu}=\cos^2\nu+\sin^2\nu=1

показывает, что линии уровня \mu являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

\frac{x^2}{c^2\cos^2\nu}-\frac{y^2}{c^2\sin^2\nu}=\mathrm{ch}^2\,\mu-\mathrm{sh}^2\,\mu=1

показывает, что линии уровня \nu являются гиперболами.

Коэффициенты Ламэ[править | править исходный текст]

Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат (\mu,\;\nu) равны

H_\mu = H_\nu = c \sqrt{(\mathrm{ch}\,\mu\,\sin\,\nu)^2 + (\mathrm{sh}\,\mu\,\cos\,\nu)^2} = c\sqrt{\mathrm{sh}^2\,\mu + \sin^2\nu}.

Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду

H_\mu=H_\nu = c\sqrt{\frac{1}{2}(\mathrm{ch}\,2\mu - \cos 2\nu}).

Элемент площади равен:

dS=c^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)\,d\mu\,d\nu,

а лапласиан равен

\nabla^2\Phi=\frac{1}{c^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)}\left(\frac{\partial^2\Phi}{\partial\mu^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\nu^2}\right).

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат. Например, градиент скалярного поля \Phi(\mu,\;\nu) записывается:


\mathrm{grad}\,\Phi =
  \frac{1}{H_\mu} \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \mathbf{e}_\mu +
  \frac{1}{H_\nu} \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \mathbf{e}_\nu,

где

\mathbf{e}_\mu = c(\mathrm{sh}\,\mu\cos\nu,\, \mathrm{ch}\,\mu\sin\nu),
\mathbf{e}_\nu = c(-\mathrm{ch}\,\mu\sin\nu,\, \mathrm{sh}\,\mu\cos\nu).

Другое определение[править | править исходный текст]

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат (\sigma,\;\tau):

 \left \{ \begin{matrix} \sigma=\mathrm{ch}\,\mu \\ \tau=\cos\nu \end{matrix} \right.

Таким образом, линии уровня \sigma являются эллипсами, а линии уровня \tau являются гиперболами. При этом

\tau\in[-1,\;1],\quad\sigma\geqslant 1.

Координаты (\sigma,\;\tau) имеют простую связь с расстояниями до фокусов F_1 и F_2. Для любой точки на плоскости

 \left \{ \begin{matrix} d_1 + d_2 = 2c\sigma \\ d_1-d_2 = 2c\tau \end{matrix} \right.

где d_1,\;d_2 — расстояния до фокусов F_1,\;F_2 соответственно.

Таким образом:

\left\{ \begin{matrix} d_1 = c(\sigma+\tau) \\ d_2 = c(\sigma - \tau) \end{matrix} \right.

Напомним, что F_1 и F_2 находятся в точках x = -c и x = +c соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:

 \left \{ \begin{matrix} x = c\sigma\tau \\ y^2 = c^2(\sigma^2-1)(1-\tau^2) \end{matrix} \right.

Коэффициенты Ламэ[править | править исходный текст]

Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат (\sigma,\;\tau) равны:

h_\sigma=c\sqrt{\frac{\sigma^2-\tau^2}{\sigma^2-1}};
h_\tau=c\sqrt{\frac{\sigma^2-\tau^2}{1-\tau^2}}.

Элемент площади равен

dA=c^2\frac{\sigma^2-\tau^2}{\sqrt{(\sigma^2-1)(1-\tau^2)}}\,d\sigma\,d\tau,

а лапласиан равен

\nabla^2\Phi=\frac{1}{c^2(\sigma^2-\tau^2)}\left[\sqrt{\sigma^2-1}\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sqrt{\sigma^2-1}\frac{\partial\Phi}{\partial\sigma}\right)+\sqrt{1-\tau^2}\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\sqrt{1-\tau^2}\frac{\partial\Phi}{\partial \tau}\right)\right].

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.


Литература[править | править исходный текст]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.

См. также[править | править исходный текст]