Эллиптические координаты

Эллиптическая система координат

Эллиптические координаты — двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями являются конфокальные эллипсы и гиперболы. За два фокуса $F_1$ и $F_2$ обычно берутся точки $-a$ и $+a$ на оси $X$ декартовой системы координат.

Основное определение

Эллиптические координаты $(\mu,\;\nu)$ обычно определяются по правилу:

$\left \{ \begin{matrix} x=a\,\mathrm{ch}\,\mu\cos\nu \\ y=a\,\mathrm{sh}\,\mu\sin\nu \end{matrix} \right.$

где $\mu\geqslant 0$, $\nu\in[0,\;2\pi)$.

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

$\frac{x^2}{a^2\,\mathrm{ch}^2\,\mu}+\frac{y^2}{a^2\,\mathrm{sh}^2\,\mu}=\cos^2\nu+\sin^2\nu=1$

показывает, что линии уровня $\mu$ являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

$\frac{x^2}{a^2\cos^2\nu}-\frac{y^2}{a^2\sin^2\nu}=\mathrm{ch}^2\,\mu-\mathrm{sh}^2\,\mu=1$

показывает, что линии уровня $\nu$ являются гиперболами.

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат $(\mu,\;\nu)$ равны

$H_\mu=H_\nu=a \sqrt{(\mathrm{ch}\,\mu\,\sin\,\nu)^2+(\mathrm{sh}\,\mu\,\cos\,\nu)^2}=a\sqrt{\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu}.$

Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду

$H_\mu=H_\nu=a\sqrt{\frac{1}{2}(\mathrm{ch}\,2\mu-\cos 2\nu}).$

Элемент площади равен:

$dS=a^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)\,d\mu\,d\nu,$

а лапласиан равен

$\nabla^2\Phi=\frac{1}{a^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)}\left(\frac{\partial^2\Phi}{\partial\mu^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\nu^2}\right).$

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат. Например, градиент скалярного поля $\Phi(\mu,\;\nu)$ записывается:

$\mathrm{grad}\,\Phi = \frac{1}{H_\mu} \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \mathbf{e}_\mu + \frac{1}{H_\nu} \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \mathbf{e}_\nu,$

где

$\mathbf{e}_\mu = a(\mathrm{sh}\,\mu\cos\nu,\, \mathrm{ch}\,\mu\sin\nu)$,

$\mathbf{e}_\nu = a(-\mathrm{ch}\,\mu\sin\nu,\, \mathrm{sh}\,\mu\cos\nu)$.

Другое определение

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат $(\sigma,\;\tau)$:

$\left \{ \begin{matrix} \sigma=\mathrm{ch}\,\mu \\ \tau=\cos\nu \end{matrix} \right.$

Таким образом, линии уровня $\sigma$ являются эллипсами, а линии уровня $\tau$ являются гиперболами. При этом

$\tau\in[-1,\;1],\quad\sigma\geqslant 1.$

Координаты $(\sigma,\;\tau)$ имеют простую связь с расстояниями до фокусов $F_1$ и $F_2$. Для любой точки на плоскости

$\left \{ \begin{matrix} d_1+d_2=2a\sigma \\ d_1-d_2=2a\tau \end{matrix} \right.$

где $d_1,\;d_2$ — расстояния до фокусов $F_1,\;F_2$ соответственно.

Таким образом:

$\left \{ \begin{matrix} d_1=a(\sigma+\tau) \\ d_2=a(\sigma-\tau) \end{matrix} \right.$

Напомним, что $F_1$ и $F_2$ находятся в точках $x=-a$ и $x=+a$ соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:

$\left \{ \begin{matrix} x=a\sigma\tau \\ y^2=a^2(\sigma^2-1)(1-\tau^2) \end{matrix} \right.$

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат $(\sigma,\;\tau)$ равны:

$h_\sigma=a\sqrt{\frac{\sigma^2-\tau^2}{\sigma^2-1}};$

$h_\tau=a\sqrt{\frac{\sigma^2-\tau^2}{1-\tau^2}}.$

Элемент площади равен

$dA=a^2\frac{\sigma^2-\tau^2}{\sqrt{(\sigma^2-1)(1-\tau^2)}}\,d\sigma\,d\tau,$

а лапласиан равен

$\nabla^2\Phi=\frac{1}{a^2(\sigma^2-\tau^2)}\left[\sqrt{\sigma^2-1}\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sqrt{\sigma^2-1}\frac{\partial\Phi}{\partial\sigma}\right)+\sqrt{1-\tau^2}\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\sqrt{1-\tau^2}\frac{\partial\Phi}{\partial \tau}\right)\right].$

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.

См. также

• Окружность Аполлония