Биполярные координаты

Биполярная система координат

Окружности Аполлония

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония. Для перехода из биполярных координат в декартовы координаты, служат следующие формулы:

$\left \{ \begin{matrix} x=\frac{a\,\mathrm{sh}\,\tau}{\mathrm{ch}\,\tau-\cos\sigma} \\ y=\frac{a\sin\sigma}{\mathrm{ch}\,\tau-\cos\sigma} \end{matrix} \right.$

где $0\leqslant\sigma<\pi$, $-\infty<\tau<\infty$.

Коэффициенты Ламе:

$L_\tau=L_\sigma=\frac{a^2}{(\mathrm{ch}\,\tau-\cos\sigma)^2}.$

Оператор Лапласа в биполярных координатах:

$\Delta f=\frac{(\mathrm{ch}\,\tau-\cos\sigma)^2}{a^2}\left(\frac{\partial^2f}{\partial\sigma^2}+\frac{\partial^2f}{\partial\tau^2}\right).$

В пространстве биполярные координаты обобщаются бисферическими.

См. также

• Биангулярные координаты