Парадокс Сколема

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Парадокс Сколема представляет собой рассуждение, связанное с использованием теоремы Лёвенгейма — Сколема для аксиоматической теории множеств.

В отличие от парадокса Рассела, парадокса Кантора, парадокса Бурали-Форти, где при помощи логически верных выводов обнаруживается противоречие, «замаскированное» в исходных посылках, «противоречие» парадокса Сколема возникает от ошибки в рассуждениях, и аккуратное рассмотрение вопроса показывает, что это лишь мнимый парадокс. Тем не менее, рассмотрение парадокса Сколема имеет большую дидактическую ценность.

[править] Формулировка

Если система аксиом любой аксиоматической теории множеств непротиворечива, то она в силу теорем Гёделя и Лёвенгейма — Сколема имеет модель и, более того, эта модель может быть построена на натуральных числах. То есть всего лишь счётное множество объектов M (каждый из которых будет соответствовать уникальному множеству) требуется для того, чтобы подобрать значение предиката для каждой пары объектов, полностью удовлетворяющее системам аксиом теории множеств (например, ZF или ZFC, см. Аксиоматика теории множеств). В такой ситуации для каждого объекта модели y лишь конечное или счётное количество объектов (больше просто нет в предметной области) могут входить в отношение . Фиксируем такую модель со счётным M в качестве предметной области.

В силу теорем ZF, вне зависимости от принятой модели в ZF выводимо, например, существование терма , мощность которого несчётна. Но в счётной модели любое множество вынужденно не более чем счётно — противоречие?

[править] Разрешение

Проведём рассуждение аккуратно. Факт означает, что существует такой объект , что формула первого порядка, соответствующая выражению , истинна в модели на оценке, при которой индивидной переменной x поставлен в соответствие объект c. Теорема Кантора утверждает, что x — несчётно, что по определению значит

«f — биекция между и ω»

(здесь словами в кавычках заменена вполне определённая формула на языке первого порядка, которая не приводится полностью лишь в силу её громоздкости). Но это значит лишь то, что среди элементов M нет такого f, что в модели оно удовлетворяло бы свойствам биекции между и ω. При этом не важно, что в отношение принадлежности с объектом из M, соответствующим терму может входить не более чем счётное число объектов из M — важно то, что среди объектов M не существует f, осуществляющего необходимую биекцию.

Рассуждение «если модель счётна, то в отношение с любым объектом может входить не более чем счётное число объектов» есть рассуждение внешнее по отношению к изучаемой аксиоматической теории и никакой формуле в этой теории не соответствует. С внешней точки зрения на теорию ZF «множество всех множеств» (второй раз слово «множество» здесь обозначает лишь некоторый объект предметной области ZF) может существовать и даже быть счётным, что никак не связано (и потому не может противоречить) с выводимыми в ZF формулами.

[править] Литература

• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
• Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.