Универсальное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
~U~~~=~~~\emptyset^c
~A^c~~~=~~~U \setminus A

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. Универсальное множество единственно.

Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E.

Свойства универсального множества[править | править исходный текст]

  • Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.
    \forall a \colon a \in U
  • В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
    U \in U
  • Любое множество является подмножеством универсального множества.
    \forall A \colon A \subseteq U
  • В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
    U \subseteq U
  • Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
    \forall A \colon U \cup A = U
  • В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
    U \cup U = U
  • Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
    \forall A \colon U \cap A = A
  • В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
    U \cap U = U
  • Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.
    \forall A \colon A \setminus U = \varnothing
  • В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
    U \setminus U = \varnothing
  • Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
    \forall A \colon U \setminus A = \overline{A}
  • Дополнение универсального множества есть пустое множество.
    \overline{U} = \varnothing
  • Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
    \forall A \colon U \triangle A = \overline{A}
  • В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.
    U \triangle U = \varnothing

Виды[править | править исходный текст]

  • Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G [1] порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики такое, что для любой g \in P_2(n) существует набор функций g_1, \ldots, g_p \in G такой, что:

g = g_1 \lor \ldots \lor g_p

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)