Универсальное множество

$~U~~~=~~~\emptyset^c$

$~A^c~~~=~~~U \setminus A$

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. Универсальное множество единственно.

Универсальное множество обычно обозначается $U$ (от англ. universe, universal set), реже $E$.

Свойства универсального множества

• Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.

  $\forall a \colon a \in U$

• В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.

  $U \in U$

• Любое множество является подмножеством универсального множества.

  $\forall A \colon A \subseteq U$

• В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.

  $U \subseteq U$

• Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

  $\forall A \colon U \cup A = U$

• В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  $U \cup U = U$

• Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

  $\forall A \colon U \cap A = A$

• В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  $U \cap U = U$

• Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

  $\forall A \colon A \setminus U = \varnothing$

• В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

  $U \setminus U = \varnothing$

• Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

  $\forall A \colon U \setminus A = \overline{A}$

• Дополнение универсального множества есть пустое множество.

  $\overline{U} = \varnothing$

• Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.

  $\forall A \colon U \triangle A = \overline{A}$

• В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

  $U \triangle U = \varnothing$

Виды

• Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики такое, что для любой $g \in P_2(n)$ существует набор функций $g_1, \ldots, g_p \in G$ такой, что:

$g = g_1 \lor \ldots \lor g_p$

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Парадокс Рассела