Плотность состояний

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение[править | править вики-текст]

Чтобы вычислять плотность состояний энергии для частицы, мы сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или k-пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера L, и для электронов в кристаллической решётке с размером решётки L используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы получаем


\begin{matrix}
 e^{ikx} & = & e^{ik(x + L)} \\
 1 & = & e^{ikL} \\
 2\pi n & = & kL \\
 \frac{2\pi}{L_x} & = & \Delta k \\
\end{matrix}

где n — любое целое число, а \Delta k\, — расстояние между состояниями с различными k.

Полное количество k-состояний, доступных для частицы - объем k-пространства доступного для неё, разделённого на объём k-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объем - просто интеграл от k = 0 к k = k. Объём k-пространства для одного состояния в n-мерном случае запишется в виде

G(k) = \frac{g_s}{\left( {\Delta k} \right)^n} \int\limits_0^k\,{d^n{\mathbf{k}}},

g_s — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в k-пространстве: g(k)\,dk = \frac{dG(k)}{dk}\,dk. Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить k и dk в выражении g(k)dk в терминах E и dE. Например для свободного электрона: E = \frac{p^2}{2m} = \frac{(\hbar k)^2}{2m}, dE = \frac{\hbar^2 k}{m}\,dk.

С более общим определением связано соотношение

D(E) = \sum_s~\delta(E-E_s)\,

где индекс s соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а \deltaдельта-функция Дирака. При переходе от суммирования к интегрированию следует использовать правило

\sum_s\rightarrow \int\frac{d^np~d^nq}{(2\pi\hbar)^n}\,

где \hbarпостоянная Планка.

Примеры[править | править вики-текст]

В следующей таблице представлены плотность состояний для электронов с параболическим законом дисперсии

Доступный объём Объём для одного состояния Плотность состояний
3D  \frac{4}{3}\pi k^3 \frac{(2\pi)^3}{L_x L_y L_z}  \frac{\sqrt{2m^3}} {\pi^2\hbar^3}\sqrt{E}
2D  \pi k^2 \frac{(2\pi)^2}{L_x L_y}  \frac{m} {\pi\hbar^2 L_x}\sum_l \Theta(E-E_l)
1D 2k \frac{2\pi}{L_x}  \frac{\sqrt{2m}}{\pi\hbar L_x L_y}\sum_l \frac{1}{\sqrt{E-E_l}}
0D  \frac{2}{ L_x L_y L_z}\sum_l \delta (E-E_l)

где l — индекс подзоны размерного квантования, \Theta - функция Хевисайда. Здесь рассмотрен не чистый случай, а когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Внешние ссылки[править | править вики-текст]