Среднее Колмогорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел x_1,\ldots,x_n — это величины вида

(*)\qquad M(x_1,\ldots,x_n) = \varphi^{-1} \left(\frac1{n} \sum_{k=1}^n \varphi (x_k)\right) =\varphi^{-1} \left( \frac{ \varphi (x_1)+ \ldots +\varphi (x_n) }{n}\right)

где \varphi — непрерывная строго монотонная функция, а \varphi^{-1} — функция, обратная к \varphi. При этом выбор определённых функций \varphi даёт различные классические средние:

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал,[1] что любая средняя величина M(x_1,\ldots,x_n) имеет вид (*), если она обладает свойствами:

  • непрерывности,
  • монотонности по каждому x_i, i=1,\ldots,n,
  • симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
  • среднее от набора равных чисел равно их значению,
  • замена любой группы чисел в наборе x_1,\ldots,x_n их средним не меняет значение среднего всего набора.

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.[2][3]

Для непрерывно распределённой величины f(x) среднее Колмогорова на отрезке [a;b]:

\qquad M_{[a;b]}(f(x)) = \varphi^{-1} \left(\frac1{b-a} \int_{a}^b \varphi (f(x)) dx\right)

Литература[править | править вики-текст]

  1. Колмогоров А. Н. Математика и механика // Избранные труды / отв. ред. С. М. Никольский, сост. В. М. Тихомиров. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. — С. 136-138.
  2. Орлов А. И. Глава 2 // Эконометрика. — 3-е изд. — М.: Экзамен, 2004. — 596 с.
  3. Орлов А. И. Раздел 5.3 // Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с.

См. также[править | править вики-текст]