Гармонический ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

 \sum_{k=1}^\mathcal{1} \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots .

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: k -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной \frac{1}{k} от длины исходной струны[1].

Сумма первых n членов ряда[править | править исходный текст]

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

 s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}

Некоторые значения частичных сумм[править | править исходный текст]

\begin{matrix}s_1 &=& 1 \\\\ s_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ s_3 &=& \frac{11}{6} &\approx& 1{,}833 \\\\ s_4 &=& \frac{25}{12} &\approx& 2{,}083 \\\\ s_5 &=& \frac{137}{60} &\approx& 2{,}283\end{matrix} \begin{matrix}s_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\s_7 &=& \frac{363}{140} &\approx& 2{,}593 \\\\ s_8 &=& \frac{761}{280} &\approx& 2{,}718 \\\\ s_{10^3} &\approx& 7{,}484 \\\\ s_{10^6} &\approx& 14{,}393\end{matrix}

Формула Эйлера[править | править исходный текст]

В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда:

 s_n = \ln(n) + \gamma + \varepsilon _n \!,

где \gamma = 0{,}5772... \! — постоянная Эйлера — Маскерони, а \ln — натуральный логарифм.

При n\rightarrow \infty \! значение \varepsilon _n \rightarrow 0 \!, следовательно, для больших n:

 s_n\approx \ln(n) + \gamma  — формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.
Пример использования формулы Эйлера
 n \!  s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \!  \ln(n) + \gamma \! \varepsilon _n \!, (%)
10 2,93 2,88 1,7
25 3,82 3,80 0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

 s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4} - \frac{1}{252n^6} \dots = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}}, где B_{2k} — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Теоретико-числовые свойства частичных сумм[править | править исходный текст]

\forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb{N}

Сходимость ряда[править | править исходный текст]

 s_n\rightarrow \infty при n\rightarrow \infty

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1043 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:

v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{+\infty}{\sim} \frac {1}{n},

частичная сумма которого, очевидно, равна:

\sum_{i=1}^{n-1} v_i= \ln n \sim H_n.

Доказательство Орема[править | править исходный текст]

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:


\begin{align}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots.
\end{align}

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Альтернативное доказательство расходимости[править | править исходный текст]

Применим доказательство от противного, предположим, что гармонический ряд сходится к сумме ~S:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots=S

Тогда, перегруппируя дроби, получим:

S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots\right)

Вынесем из второй скобки \tfrac{1}{2}:

S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\right)

Заменим вторую скобку на ~S:

S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}S

Перенесём \tfrac{1}{2}S в левую часть:

\frac{1}{2}S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)

Подставим обратно вместо ~S сумму ряда:

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.

Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.

Частичные суммы[править | править исходный текст]

n-ая частичная сумма гармонического ряда,

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},\!

называется n-ым гармоническим числом.

Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме H_1=1, не является целым[2].

Связанные ряды[править | править исходный текст]

Ряд Дирихле[править | править исходный текст]

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд[3]

 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \frac{1}{4^\alpha} + \cdots +\frac{1}{k^\alpha} + \cdots .

Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1[3].

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:

 \sum_{k=1}^\mathcal{1} \frac{1}{k^\alpha}=\zeta(\alpha)

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}, а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Знакопеременный ряд[править | править исходный текст]

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия).

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд


\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.

Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:


\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}.

Это известно как ряд Лейбница.

Случайный гармонический ряд[править | править исходный текст]

Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел[4][5] свойства случайного ряда

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},\!

где sn независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от \frac{1}{8} на менее чем 10−42. Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.

«Истончённый» гармонический ряд[править | править исходный текст]

Ряд Кемпнера (англ.)

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80[6]. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Р. Грэхэм, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — стр. 47. — С. 703 ISBN 5-03-003773-X
  2. Harmonic Number — from Wolfram MathWorld
  3. 1 2 Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.
  4. «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003
  5. Schmuland’s preprint of Random Harmonic Series
  6. Nick’s Mathematical Puzzles: Solution 72