Гармонический ряд

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

$\sum_{k=1}^\mathcal{1} \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots$.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: $k$-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной $\frac{1}{k}$ от длины исходной струны.

Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой s_n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

$s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}$

Некоторые значения частичных сумм

$\begin{matrix}s_1 &=& 1 \\\\ s_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ s_3 &=& \frac{11}{6} &\approx& 1{,}833 \\\\ s_4 &=& \frac{25}{12} &\approx& 2{,}083 \\\\ s_5 &=& \frac{137}{60} &\approx& 2{,}283\end{matrix}$

$\begin{matrix}s_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\s_7 &=& \frac{363}{140} &\approx& 2{,}593 \\\\ s_8 &=& \frac{761}{280} &\approx& 2{,}718 \\\\ s_{10^3} &\approx& 7{,}484 \\\\ s_{10^6} &\approx& 14{,}393\end{matrix}$

Формула Эйлера

В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда:

$s_n = \ln(n) + \gamma + \varepsilon _n \!$,

где $\gamma = 0{,}5772... \!$ — постоянная Эйлера — Маскерони, а $\ln$ — натуральный логарифм.

При $n\rightarrow \infty \!$ значение $\varepsilon _n \rightarrow 0 \!$, следовательно, для больших n:

$s_n\approx \ln(n) + \gamma$ — формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.

Пример использования формулы Эйлера

$n \!$	$s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \!$	$\ln(n) + \gamma \!$	$\varepsilon _n \!$, (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

$s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4} - \frac{1}{252n^6} \dots = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}}$, где $B_{2k}$ — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Теоретико-числовые свойства частичных сумм

$\forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb{N}$

Сходимость ряда

$s_n\rightarrow \infty$ при $n\rightarrow \infty$

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10⁴³ элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:

$v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{+\infty}{\sim} \frac {1}{n}$,

частичная сумма которого, очевидно, равна:

$\sum_{i=1}^{n-1} v_i= \ln n \sim H_n$.

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

$\begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots. \end{align}$

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Альтернативное доказательство расходимости

Применим доказательство от противного, предположим, что гармонический ряд сходится к сумме $~S$:

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots=S$

Тогда, перегруппируя дроби, получим:

$S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots\right)$

Вынесем из второй скобки $\tfrac{1}{2}$:

$S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\right)$

Заменим вторую скобку на $~S$:

$S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}S$

Перенесём $\tfrac{1}{2}S$ в левую часть:

$\frac{1}{2}S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)$

Подставим обратно вместо $~S$ сумму ряда:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots$

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots$ не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.

Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.

Частичные суммы

n-ая частичная сумма гармонического ряда,

$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},\!$

называется n-ым гармоническим числом.

Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме $H_1=1$, не является целым.

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \frac{1}{4^\alpha} + \cdots +\frac{1}{k^\alpha} + \cdots$.

Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1.

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:

$\sum_{k=1}^\mathcal{1} \frac{1}{k^\alpha}=\zeta(\alpha)$

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$, а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Знакопеременный ряд

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия).

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots$

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

$1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.$

Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

$\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}.$

Это известно как ряд Лейбница.

Случайный гармонический ряд

Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел свойства случайного ряда

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},\!$

где s_n независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от $\frac{1}{8}$ на менее чем 10⁻⁴². Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.

«Истончённый» гармонический ряд

Ряд Кемпнера (англ.)

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.