Стягиваемое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на X гомотопно постоянному.

Локально стягиваемое пространство — топологическое пространство, каждая точка которого обладает стягиваемой окрестностью.

Свойства[править | править вики-текст]

Пространство X стягиваемо тогда и только тогда, когда существует x_0 \in X такое, что \{x_0\} — деформационный ретракт пространства X.

Стягиваемые пространства всегда односвязны; обратное утверждение, в общем случае, не имеет места, стягиваемость — более сильное ограничение, чем односвязность.

Всякое непрерывное отображение стягиваемых пространств является гомотопической эквивалентностью. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в стягиваемое гомотопны; притом если два любых непрерывных отображения в X гомотопны, то X — стягиваемое пространство.

Конус \mathrm{C}X для данного пространства X — стягиваемое пространство, таким образом, любое пространство X может быть вложено в стягиваемое, что, в свою очередь, свидетельствует о том, что не всякое подпространство стягиваемого пространства стягиваемо. Кроме того, X стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ретракция \mathrm{C}X \to X.

Примеры и контрпримеры[править | править вики-текст]

Стягиваемы n-мерное вещественное пространство \R^n, любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности — n-мерный шар.

Сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема, но при этом n-мерные евклидовы сферы нестягиваемы. Всякое непрерывное отображение n-мерной сферы в стягиваемое пространство можно непрерывно продолжить на n+1-мерный шар.

Другие примечательные стягиваемые пространства — многообразие Уайтхеда (трёхмерное многообразие, не гомеоморфное \R^3), многообразие Мазура[en] (четырёхмерное гладкое многообразие с краем, не диффеоморфное четырёхмерному шару), дом Бинга[en], шутовской колпак[en].

Все многообразия и CW-комплексы[en] локально стягиваемы, но не стягиваемы в общем случае.

Литература[править | править вики-текст]

  • Э. Спеньер Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 39—42. — 680 с.