Теорема сумм-произведений

Теорема сумм-произведений — теорема арифметической комбинаторики, устанавливающая неструктурированность любого достаточно большого множества относительно хотя бы одной из операций поля (сложения и умножения). В качестве показателя структурированности используются, соответственно, размеры множества сумм и множества произведений.

Формулировка

Пусть $A\subset {\mathbb {F} }$ — подмножество некоторого кольца ${\mathbb {F} }$ (обычно ${\mathbb {F} }$ является полем, но формально можно рассматривать и кольцо) с операциями $+$ и $\cdot$. Рассматриваются два производных от $A$ множества:

$A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace$

$A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace$

Если множество $A$ структурировано относительно сложения (например, в нём много арифметических прогрессий, или обобщённых арифметических прогрессий, или их больших кусков), то множество $A+A$ будет относительно невелико — ведь суммы многих пар элементов совпадут.

Если же $A$ структурировано относительно умножения, то не очень большим будет множество $A\times A$, по аналогичным причинам.

Теорема утверждает, что хотя бы одно из множеств $A+A$ и $A\times A$ очень велико относительно $A$, то есть относительно хотя бы одной из операций структура будет нерегулярна.

Конкретнее, теорема устанавливает степенной рост размера большего из производных множеств относительно размера исходного:

Теорема Для некоторой константы $\delta =\delta ({\mathbb {F} })>0$ и произвольного множества $A\subset {\mathbb {F} }$ (для конечного ${\mathbb {F} }$ — с ограничениями на размер) верно, что $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{1+\delta }$

Для разных колец удаётся получить оценки с разными $\delta$. Также для некоторых (особенно для конечных) колец возможно добавление условий на размер множества $A$, при которых выполняется теорема для данного $\delta$.

Крайние случаи

Наиболее удобными для изучения оказываются крайние случаи гипотезы:

• few sums, many product (FSMP): если $|A+A|\ll |A|$, то $|AA|\geq |A|^{2-o(1)}$

• few products, many sums (FPMS): если $|AA|\ll |A|$, то $|A+A|\geq |A|^{2-o(1)}$

Примеры

Классическими примерами для иллюстрации теоремы сумм-произведений являются арифметическая прогрессия $A=\left\lbrace {1,\dots ,n}\right\rbrace$ и геометрическая прогрессия $B=\left\lbrace {1,2,4,\dots ,2^{n-1}}\right\rbrace$.

Арифметическая прогрессия максимально упорядочена относительно сложения, так что $|A+A|<2|A|$, однако из её чисел можно составить много разных произведений, так что $|A\times A|=\Omega \left({\frac {|A|^{2}}{\log |A|}}\right)$, так что относительно умножения она совершенно неупорядоченна.

Точно так же для геометрической прогрессии выполнено $|B\times B|<2|B|$, но очевидно (если рассмотреть двоичное представление чисел), что $|B+B|=\Omega (|B|^{2})$.

Результаты

Для вещественных чисел

При ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ теорема сумм-произведений иногда называется также теоремой Эрдёша-Семереди, поскольку именно они в 1983 году подняли вопрос рассмотрения соотношения количеств сумм и произведений. В той же работе они выдвинули гипотезу о том, что величина $\varepsilon$ может быть сколь угодно близка к единице (то есть $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{2-o(1)}$). Однако В той же статье они выдвинули ещё несколько гипотез, в частности, аналогичную для $k$ слагаемых и множеств: $\max \left\lbrace {|A+\dots +A|,|A\times \dots \times A|}\right\rbrace >|A|^{k-o(1)}$.

Хронология улучшения $\delta$ в оценке $\max\{|A+A|,|AA|\}\geq |A|^{1+\delta -o(1)},\ A\subset {\mathbb {R} }$
Год	Значение $\delta$	Автор(ы)
1983	$1/31$(*)(**)	Эрдёш, Семереди $1+\delta$ вместо $1+\delta -o(1)$
1998	$1/15$(*)(**)	Форд
1997	$1/4$(**)	Элекеш
2005	$3/11$	Шоймоши
2009	$1/3$	Шоймоши
2015	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{20598}}\approx 0.333381...$	Конягин, Шкредов
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{9813}}\approx 0.333842...$	Конягин, Шкредов
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{1509}}\approx 0.333996...$	Руднев, Шкредов, Стивенс
2019	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{5277}}\approx 0.334280...$	Шакан
2020 (препринт)	${\frac {1}{3}}+{\frac {2}{1167}}\approx 0.335047...$	Руднев, Стивенс
(*) Только для $A\subset {\mathbb {Z} }$ (**) Верно и для степени $1+\delta$ вместо $1+\delta -o(1)$

Для полей вычетов по простому модулю

Теренс Тао в своей монографии отмечает, что задача о получении аналога результата Эрдёша и Семереди в полях ${\mathbb {F} }_{p}$ была поставлена в 1999 г. Т. Вольфом (в частной беседе) для подмножеств $A\subset {\mathbb {F} }_{p}$ мощности порядка $p^{1/2}$.

Задача сумм-произведений в ${\mathbb {F} }_{p}$ была решена в работах Бургейн, Глиббичука и Конягина и Бургейна, Каца и Тао. Они доказали следующую теорему

Для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ такое, что если $A\subset {\mathbb {F} }_{p}$ и $|A|<p^{1-\varepsilon }$, то выполняется оценка $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace \geq |A|^{1+\delta }$

В условии теоремы требование $|A|<p^{1-\varepsilon }$ является естественным, так как если $|A|$ имеет порядок близкий к $p$, то обе величины $|A+A|$ и $|A\times A|$ будут по порядку близки к $|A|$.

Для произвольных колец

Теренс Тао исследовал границы возможностей обобщения теоремы на произвольные кольца и, в частности, связь экстремальных случаев малых значений $|A+A|$ и $|A\cdot A|$ с количеством делителей нуля в множестве $A$ и близостью его структуры к подкольцу.

Методы доказательства

Для вещественных чисел

Первые доказательства

Доказательство Эрдёша и Семереди использовало тот факт, что при малых $|A+A|$ и $|A\times A|$ существует решение системы

${\begin{cases}b_{1}+b_{3}=b_{2}+b_{4}\\b_{1}b_{5}=b_{2}b_{6}\ ,\end{cases}}$

где $b_{i}$ принадлежат некоторым (разным) подмножествам $A$, а на само множество $A$ налагаются специальные условия. Используя такое утверждение как лемму, можно доказать теорему и для произвольного множества $A$.

Теорема Семереди — Троттера (Элекеш, 1997)

См. также: Теорема Семереди — Троттера

Если все элементы $a\in A$ имеют много представлений в виде $a=p_{1}p_{2},\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2}$ для некоторых небольших множеств $\Pi _{1}\Pi _{2}$, то для оценки числа решений уравнения

$a+b=c,\ a\in A,\ b\in B,\ c\in C\ .$

с любыми множествами $B,C$ можно использовать уравнение

$p_{1}p_{2}+b=c,\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2},\ b\in B,\ c\in C\ .$

С другой стороны, решения такого уравнения соответствуют инциденциям между прямыми, которые параметризуются парами $(p_{1},b)$, и точками, которые параметризуются парами $(p_{2},c)$. Поэтому для их оценки оказывается удобно использовать общие результаты об инциденциях, наилучший из которых — теорема Семереди — Троттера.

Именно это использовал Элекеш при доказательстве теоремы с показателем $\delta ={\frac {1}{4}}$. Неявно его доказательство можно разделить на два этапа:

• анализ уравнения $a+b=c,\ a\in A,b\in B,c\in C$ (тривиально, с помощью разложения $\Pi _{1}:=AA,\ \Pi _{2}:=1/A$)

• применение полученных оценок (тривиально, для $B:=A,\ C:=A+A$)

Такая декомпозиция важна для осмысления возникших позже методов.

Конструкция Шоймоши (Шоймоши, 2009)

Конструкция Шоймоши. Красные точки имеют координаты из $A\times A$.
Зелёные точки соответствуют суммам красных с соседних прямых. Все они гарантированно различны и принадлежат $(A+A)\times (A+A)$.
Количество линий с красными точками выражается через $|AA|$

Шоймоши использовал тот факт, что если ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$, то

${\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}\ .$

Из этого следует, что если ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {a_{3}}{b_{3}}}$, то

${\frac {a_{1}+a_{2}}{b_{1}+b_{2}}}<{\frac {a_{2}+a_{3}}{b_{2}+b_{3}}}\ .$

В то же время при фиксированных значениях $\lambda \in A/A,\ \mu \in A/A$ все пары $(a+c,b+d)$, образуемые представлениями

$\lambda ={\frac {a}{b}},\ \mu ={\frac {c}{d}},\ a,b,c,d\in A$

будут различны, поэтому, просуммировав их по «соседним» парам $(\lambda ,\mu )$, можно получить оценку на $|A+A|$ в терминах числа таких представлений. А оно, в свою очередь, выражается (опосредовано) через $|AA|$.

Наиболее наглядно эту идею можно выразить геометрически, как суммирование точек из $A\times A$, которые лежат на соседних прямых, исходящих из центра координат.

Разбиение конструкции Шоймоши (Конягин, Шкредов, 2015)

Разбиение конструкции Шоймоши по методу Конягина-Шкредова
Цвета линий, исходящих из центра координат, соответствуют блокам, в каждом из которых оценивается количество совпадений сумм.
Синие и фиолетовые линии обозначают суммируемые пары красных точек с одинаковыми суммами.

Если в конструкции Шоймоши убрать условие о том, что суммируемые точки должны принадлежать соседним прямым, то уже ничто не будет гарантировать, что все получающиеся суммы будут различны. Например, вообще все суммы точек из $A\times A$ могут быть различны только в экстремальном случае $|A+A|\gg |A|^{2}$, а он уже удовлетворяет гипотезе сумм-произведений.

Исходя из этого, Конягин и Шкредов оценили минимальное число совпадений таких сумм в промежуточном случае (когда $|A+A|$ и $|AA|$ равны нижней оценке, то есть $|A|^{4/3}$). Чтобы оценить число совпадений, они разбили все прямые на блоки из одинакового числа идущих подряд и оценивали число совпадений в каждом блоке для большинства из них. Используя эти оценки, они получили результат с $\delta >{\frac {1}{3}}$.

Нетривиальное мультипликативное разложение (Руднев, Стивенс, 2020)

Совпадения двух сумм точек, которые рассматривали Конягин и Шкредов, означают наличие решения системы уравнений

${\begin{cases}\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}=\lambda _{3}a_{3}+\lambda _{4}a_{4}\\a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\ ,\end{cases}}$

где $(a_{i},\lambda _{i}a_{i})\in A\times A$ и все $\lambda _{i}$ и пары $(\lambda _{1},\lambda _{2}),(\lambda _{3},\lambda _{4})$ различны. Редуцируя систему по методу Гаусса (в одно действие), можно получить уравнение

$a_{3}=c_{1}a_{1}-c_{2}a_{2}$

с постоянными $c_{1},c_{2}$ и теми же условиями на $a_{1},a_{2}$. Руднев и Стивенс применили это для явного построения мультипликативного разложения большого подмножества $A$ с лучшими свойствами, чем у тривиального.

По аналогии с доказательством Элекеша, это позволяет разделить доказательство оценок с показателем $\delta ={\frac {1}{3}}+c$ на два этапа:

• применение нового мультипликативного разложения;

• нетривиальное применение уравнения $a-b=c$ для оценки $|A+A|$.

Использование старших энергий

Наиболее популярный путь использования уравнений для оценки $|A+A|$ — использование аддитивной энергии и её обобщений. Результаты применения теоремы Семереди-Троттера позволяют лучше всего анализировать уравнения вида

$E_{3}(A,D):=\{(a_{1},a_{2},a_{3},d_{1},d_{2},d_{3})\in A^{3}\times D^{3}\ :\ a_{1}-d_{1}=a_{2}-d_{2}=a_{3}-d_{3}\}$

для произвольного $D$. Руднев и Стивенс предложили метод использования такой аддитивной энергии с помощью рассмотрения уравнения

$d=(a+b)-(a+c)\,\ a,b,c\in A,\ d\in D\ ,$

где $D$ соответствует множеству популярных (с большим количеством представлений) разностей, а $a+b$ принадлежит множеству популярных сумм. Кроме задачи сумм-произведений, разработка подобных методов актуальна для оценки сумм выпуклых последовательностей.

Существует похожий операторный метод, который менее эффективен для оценки $|A+A|$, но позволяет лучше изучать связь между $E(A)$ и $|AA|$.

Для простых полей

При доказательстве теоремы для ${\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p}$ широко используются понятие аддитивной энергии, неравенство Плюннеке — Ружа и оценки Балога-Семереди-Гауэрса. Одно из возможных доказательств использует нижнюю оценку на размер множества $R(A)=A\left({{\frac {A\times A-A\times A}{A-A}}+A}\right)$ и тот факт, что из верхних оценок на размеры $A+A$ и $A\times A$ следует противоречащая нижней верхняя оценка на размер $R(A)$.

Приложения

Бургейн, Глибичук и Конягин использовали частны случай теоремы при ${\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p}$ для оценки полилинейных тригонометрических сумм. Это, в частности, позволило получить нетривиальные верхние оценки для сумм Гаусса ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{g\in G}{e^{2\pi {\frac {ag}{p}}i}}}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert }{\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{n}}{p}}i}}}{\Bigg \vert }$ по малым мультипликативным подгруппам $G\subset {\mathbb {F} }_{p}^{*},\ |G|={\frac {p-1}{n}}$. Бургейн, Кац и Тао, используя этот же случай, усилили оценку в проблеме Семереди-Троттера в ${\mathbb {F} }_{p}$, доказав, что для множества пар $I=\left\lbrace {(p,l):p\in l,p\in P,l\in L}\right\rbrace$ для множества $P$ точек из $\left({{\mathbb {F} }_{p}}\right)^{2}$ и прямых $L$ при $|P|=|L|=n$ выполняеся оценка $|I|\leq n^{{\frac {3}{2}}-\varepsilon }$ при некотором $\varepsilon >0$.

В этой же работе они применили теорему для исследования множеств Какейи в многомерном пространстве $({\mathbb {F} }_{p})^{d}$. Для размера такого множества ими была получена оценка $|S|>p^{{\frac {d}{2}}+1+10^{-10}}$.

Границы возможного улучшения гипотезы

В той же статье, где Эрдёш и Семереди выдвинули гипотезу о том, что $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >c(\delta )|A|^{2-\delta }$ для $A\subset {\mathbb {Z} },\ \delta >0$, они предъявили и пример построения сколь угодно большого множества $A$, для которого $|A+A|+|A\times A|\leq |A|^{2-{\frac {c}{\log \log |A|}}}$. В качестве такого множества выступало множество чисел, получаемых произведением не более чем $2\left\lfloor {\frac {\log x}{6\log \log x}}\right\rfloor$ простых чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превышает $(\log x)^{3}$, где $x$ — произвольное достаточно большое число.

Обобщения

Для комбинации операций

Бургейн и Чанг рассматривали оценки вида

$\max\{|\underbrace {A+\dots +A} _{k}|,|\underbrace {A\times \dots \times A} _{k}|\}\geq |A|^{b(k)}$

для произвольного $k$ и $b(k)\to \infty$.

Во многих работах сложение и умножение соединяют в одном выражении: например, получают безусловные нижние оценки для $|AA+AA|$.

Для набора пар слагаемых/множителей

Одно из обобщений гипотезы — вопрос о суммах и произведениях, соответствующие рёбрам произвольного графа на элементах множества.

Пусть $G=(A,E)$ — граф, $E\subset A\times A$, $|A|=n$. Обозначим $c$ и $\delta$ через равенства $|E|=n^{1+c}$ $\max\{|A+_{G}A|,|A\cdot _{G}A|\}=n^{1+\delta }$, где $A+_{G}A:=\{a+b:(a,b)\in E\}$, $A\cdot _{G}A:=\{ab:(a,b)\in E\}$ Как зависят друг от друга значения $c$ и $\delta$ при $|A|\to \infty$?

В отличие от случая $G=A\times A$, здесь может не наблюдаться экстремального роста ни сумм, ни произведений: при $c<1$ возможна ситуация, когда $\delta <c$. Поэтому кроме нижних оказывается актуален вопрос верхних оценок на $\max\{|A+A|,|AA|\}$. Впрочем, нижние оценки тоже исследуются.

Для оценки энергий

Нижние оценки на размер множества сумм легко выводить из верхних оценок на аддитивную энергию, поэтому гипотезу о первых естественно обобщить до гипотезы о вторых, используя аналогичное понятие мультипликативной энергии.

Но у множества чисел вполне могут быть большими одновременно обе энергии, поскольку нижняя оценка может контролироваться вкладом отдельного подмножества. Например, если $E^{+}(A_{1})\gg |A|^{3},E^{\times }(A_{2})\gg |A|^{3}$, то для множества $A=A_{1}\cup A_{2}$ верно, что

$\min\{E^{+}(A),E^{\times }(A)\}\geq \min\{E^{+}(A_{1}),E^{\times }(A_{2})\}\gg |A|^{3}\ .$

Поэтому при формулировке соответствующей теоремы об энергиях используется соотношение энергий разных подмножеств.

Теорема Балога-Вули Существует константа $\delta >0$ такая, что для любого множества $A\subset {\mathbb {R} }$ существует разбиение $A=B\sqcup C$ с условием $E^{+}(B)\leq |A|^{3-\delta },\ E^{\times }(C)\leq |A|^{3-\delta }$

Наилучший вариант этой теоремы доказан для $\delta ={\frac {7}{26}}-o(1)$. Известно, что аналогичное не верно для $\delta >{\frac {2}{3}}$.

Для произвольных выпуклых функций

Умножение двух чисел можно представить как функцию от сложения их логарифмов: $ab=\exp(\log a+\log b)$. Поэлементное применение строго возрастающей функции ко множеству не меняет его размера, поэтому

$|AA|=|\exp(\log A+\log A)|=|\log A+\log A|$

и основную гипотезу сумм-произведений можно переформулировать как

$\max\{|A+A|,|\log A+\log A|\}\geq |A|^{2-o(1)}$

или (подставляя $A:=\log A$) как

$\max\{|\exp(A)+\exp(A)|,|A+A|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ .$

Оказывается, что похожие оценки можно доказать для произвольной выпуклой функции вместо $\exp$.

Теорема Если $A\subset {\mathbb {R} }$ — произвольное множество, $f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }$ — произвольная строго выпуклая функция, то $\max\{|A-A|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{14/11-o(1)}$ $\max\{|A+A|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{24/19-o(1)}$

Вопрос о том, верны ли такие же оценки с показателем $2-o(1)$ в правой части, остаётся открытым.

Аналогичные результаты получены и для большего числа слагаемых.

Литература

• Гараев М. З. Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, (рус.) // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 2010. — Т. 65, вып. 4 (394). — С. 5—66. — doi:10.4213/rm9367.

• P. Erdös, E. Szemerédi. On sums and products of integers (англ.) // Birkhäuser Verlag. — 1983. — P. 213–218.

• M. Nathanson. On sums and products of integers (англ.) // Proceedings of the American Mathematical. — 1997. — Vol. 125, iss. 1.

• K. Ford. Sums and Products from a Finite Set of Real Numbers (англ.) // The Ramanujan Journal. — 1998. — Vol. 2. — P. 59–66.

• G. Elekes. On the number of sums and products (англ.) // Acta Arithmetica. — 1997. — Vol. 81, iss. 4. — P. 365–367.

• J. Solymosi. Bounding multiplicative energy by the sumset (англ.) // Advances in Mathematics. — 2009. — Vol. 222, iss. 2. — P. 402–408. — arXiv:0806.1040v3.

• S. V. Konyagin, I. D. Shkredov. On sum sets of sets having small product set (англ.) // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2015. — Vol. 290. — P. 288–299. — arXiv:1503.05771.

• S. V. Konyagin, I. D. Shkredov. New results on sum-products in ${\mathbb {R} }$ (англ.). — 2016. — arXiv:1602.03473.

• M. Rudnev, I. D. Shkredov, S. Stevens. On The Energy Variant of the Sum-Product Conjecture (англ.) // Revista Matemática Iberoamericana. — 2020. — Vol. 36, iss. 1. — P. 207–232. — arXiv:1607.05053.

• G. Shakan. On higher energy decompositions and the sum–product phenomenon (англ.) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 2019. — Vol. 167, iss. 3. — P. 599–617. — arXiv:1803.04637.

• M. Rudnev, S. Stevens. An update on the sum-product problem (англ.). — 2020. — arXiv:2005.11145.

• G. Elekes, I. Z. Ruzsa. Few sums, many products (англ.) // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. — 2003. — Vol. 40, iss. 3. — P. 301–308.

• B. Murphy, M. Rudnev, I. Shkredov, Y. Shteinikov. On the few products, many sums problem (англ.) // Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. — 2019. — Vol. 31, iss. 3. — P. 573–602. — arXiv:1712.00410.

• N. Alon, I. Ruzsa, J. Solymosi. Sums, products and ratios along the edges of a graph (англ.) // Publicacions Matemàtiques. — 2020. — Vol. 64, iss. 1. — P. 143–155. — arXiv:1802.06405.

• N. Alon, O. Angel, I. Benjamini, E. Lubetzky. Sums and products along sparse graphs (англ.) // Israel Journal of Mathematics. — 2012. — Vol. 188, iss. 1. — P. 353–384. — arXiv:0905.0135.

• I. Shkredov, J. Solymosi. The Uniformity Conjecture in Additive Combinatorics (англ.). — 2020. — arXiv:2005.11559.

• J. Solymosi. On the number of sums and products (англ.) // Bulletin of the London Mathematical Society. — 2005. — Vol. 37, iss. 4. — P. 491–494.

• A. Balog, T. D. Wooley. A low-energy decomposition theorem (англ.) // The Quarterly Journal of Mathematics. — 2017. — Vol. 68, iss. 1. — P. 207–226. — arXiv:1510.03309.

• B. Hanson, O. Roche-Newton, M. Rudnev. Higher convexity and iterated sum sets (англ.). — 2020. — arXiv:2005.00125.

• L. Li, O. Roche-Newton. Convexity and a sum-product type estimate (англ.) // Acta Arithmetica. — 2012. — Vol. 156. — P. 247–255. — arXiv:1111.5159v1.

• J. Bourgain, M.-C. Chang. On the size of $k$-fold sum and product sets of integers (англ.) // Journal of the American Mathematical Society. — 2004. — Vol. 17, iss. 2. — P. 473–497. — arXiv:math/0309055.

• К. И. Ольмезов, А. С. Семченков, И. Д. Шкредов. О популярных суммах и разностях для множеств с малым мультипликативным удвоением (рус.) // Математические заметки. — 2020. — Т. 108, вып. 4. — С. 561–571. — arXiv:1911.12005.