Аддитивная энергия

Аддитивная энергия — численная характеристика подмножества группы, иллюстрирующая структурированность множества относительно групповой операции. Термин введён Теренсом Тао и Ван Ву.

Определение

Пусть $(G,+)$ — группа.

Аддитивная энергия множеств $A\subset G$ и $B\subset G$ обозначается как $E_{+}(A,B)$ и равна количеству решений следующего уравнения:

$a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)$

Аналогично можно определить мультипликативную энергию (например. в кольце) как количество $E_{\times }(A,B)$ решений уравнения:

$a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)$

Экстремальные значения

Своего наименьшего значения $E_{+}(A,B)$ достигает, когда все суммы $a+b\ (a\in A,b\in B)$ различны (т.к., тогда уравнение выполняется только при $\{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}$) — например, когда $A=B$ и $A$ — множество различных образующих группы $G$ из какого-то минимального порождающего множества. Тогда $E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2}}$

Наибольшее значение $E_{+}(A,B)$ достигается, когда $A=B$ и $A$ является подгруппой $G$. В этом случае для любого $x\in A$ число решений уравнения $a+b=x\ (a,b\in A)$ равно $|A|$, так что $E_{+}(A,A)=|A|^{3}$

Соответственно, промежуточные величины порядка роста $E_{+}(A,A)$ между $|A|^{2}$ и $|A|^{3}$ можно рассматривать как больший или меньший показатель близости структуры $A$ к структуре подгруппы. Для некоторых групп $G$ определённые ограничения на аддитивную энергию позволяет доказывать структурные теоремы о существовании достаточно больших подгрупп $G$ внутри $A$ (или какого-то производного от него множества) и о вложимости $A$ (или какого-то производного от него множества) в достаточно маленькие подгруппы $G$. Ограничения на $G$ для этих теорем связаны с показателем кручения группы $G$ и отдельных её образующих. Однако для циклических групп и групп без кручения существуют аналогичные теоремы, рассматривающие вместо подгрупп обобщённые арифметические прогрессии.

Основные свойства

$E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)$

$E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2}$, где $A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Доказательство

Обозначим $\lambda (x)=\#\left\lbrace {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace$.

Тогда $E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2}}$ и, согласно неравенству Коши-Буняковского,

$E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\right)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}$

Для кольца вычетов по простому модулю $G={\mathbb {F} }_{p}$ аддитивную энергию можно выразить через тригонометрические суммы. Обозначим $e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}$. Тогда

$E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}$

Доказательство

Будем использовать нотацию Айверсона и индикаторное тождество.

$E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}$

$={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right)}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}$

Заметим, что выражение через тригонометрические суммы справедливо только для аддитивной энергии, но не для мультипликативной, поскольку использует явно свойства сложения в ${\mathbb {F} }_{p}$.

Приложения

Аддитивная и мультипликативная энергии используются в аддитивной и арифметической комбинаторике для анализа комбинаторных сумм и произведений множеств $A+B=\left\lbrace {a+b:A+B}\right\rbrace$, в частности, для доказательства теоремы сумм-произведений.

Старшие энергии

Существуют два основных обобщения уравнения, определяющего аддитивную энергию - по количеству слагаемых и по количеству равенств:

$E_{k}(A)=\#\left\lbrace {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\dots =a_{k}-b_{k}\ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\sum \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}$

$T_{k}(A)=\#\left\lbrace {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\in A}\right\rbrace$

Они называются старшими энергиями и иногда возможно получить оценки на них, не получая оценок на обычную аддитивную энергию. В то же время неравенство Гёльдера позволяет (со значительным ухудшением) оценивать обычную энергию через старшие.

Для параметра $k$ в $E_{k}$ иногда рассматриваются и вещественные, а не только целые числа (просто через подстановку в последнее выражение).

См. также

• Теорема сумм-произведений
• Структурная теорема Чанг

Литература

• Ю. Н. Штейников. Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и некоторые их приложения (рус.) // Математические заметки. — 2015. — Т. 98, вып. 4. — С. 606-625.

• И. Д. Шкредов. Несколько новых результатов о старших энергиях (англ.) // Труды Московского математического общества. — 2013. — Vol. 74, iss. 1. — P. 35-73.